AMC 10 · 2022 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

modular-arithmeticp-adic-inversepattern-recognitionrecursive-sequenceexponents easier-related-problempattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticrecursive-sequence

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0과 1로 이루어진 어떤 수열이 규칙 하나로 정의됩니다. 앞의 n개 비트로 만든 수에 7을 곱하면 2의 n제곱으로 나눈 나머지가 항상 1이 됩니다. 2019번째부터 2022번째까지의 네 비트에 1, 2, 4, 8을 곱해 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제) — 인덱스 2019를 직접 공략 대신 S₃, S₆, S₉을 손으로 계산해 비트 x₀, x₁, …, x₈을 읽기. 도구 #5(패턴) — 작은 데이터에서 주기 3 패턴이 보일 것. 도구 #2(나열) — 처음 9 비트를 세 개씩 묶어 주기 확인. 도구 #13(대수) — 패턴 확정 후 k = 2019, 2020, 2021, 2022 대입. 도구 #3(가능성 지우기) — 결과를 선택지 {6, 7, 12, 14, 15}와 비교.

1STEP 1

앞 세 비트 구하기

앞 세 비트를 직접 구합니다.

S₃ = 7 = 111₂ → x₀, x₁, x₂ = 1, 1, 1

2STEP 2

다음 세 비트 구하기

다음 세 비트도 구합니다.

S₆ = 55 = 110111₂ → x₃, x₄, x₅ = 0, 1, 1

3STEP 3

그다음 세 비트 구하기

세 번째 묶음도 구합니다.

S₉ = 439 = 110110111₂ → x₆, x₇, x₈ = 0, 1, 1

4STEP 4

반복 무늬 찾기

비트가 세 칸마다 반복됩니다.

x_k = 0 & k ≡ 0 (mod 3) ; 1 & k ≡ 1, 2 (mod 3) (k ≥ 3)

5STEP 5

네 비트 읽어내기

나머지로 네 비트를 읽습니다.

x₂₀₁₉ = 0, x₂₀₂₀ = 1, x₂₀₂₁ = 1, x₂₀₂₂ = 0

6STEP 6

가중합 계산하기

가중합은 6입니다.

0 + 2 + 4 + 0 = 6 → (A)

정답

수치 점검. 패턴 확인은 구체적: 서로 다른 세 n 에서 세 묶음의 비트가 모두 k ≥ 3 에서 (0, 1, 1)로 일치. 처음 묶음 (1,1,1)은 시작 부분의 특수 케이스. 주기성 이중 확인: 7 S_n ≡ 1 (mod 2ⁿ)은 7의 2-adic 역원의 부호 부호화, 그리고 7 = 2³ - 1이라 1/7 = -1/(1 - 2³)은 2³에 대한 기하급수 — 이것이 바로 비트 패턴 주기 3의 이유. 정답 6이 (A)와 일치. 다른 선택지 7, 12, 14, 15는 비트 하나 오독이나 주기 한 칸 어긋남.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 6학년 정수 추론만 있으면 풀려요 — n = 3, 6, 9의 세 작은 경우로 비트 x₀, x₁, …, x₈을 손으로 계산하면 k ≥ 3 에서 주기 3 패턴 (0,1,1)이 또렷이 보입니다. 2019, 2020, 2021, 2022 (mod 3) 조회로 비트 0, 1, 1, 0, 목표 0 + 2 + 4 + 0 = 6.