AMC 10 · 2023 · #20

학년 9 patternnumber-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

recursive-sequencesequences-geometricunits-digit-trackingpattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencepattern-recognition

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 배열을 줄 단위로 만듭니다. 첫 줄은 1 하나입니다. 이후 각 줄은 양 끝이 1이고 가운데 항은 위 줄에서 대각선으로 마주 보는 두 항의 합에 1을 더한 값입니다. n번째 줄에는 항이 n개입니다. 2023번째 줄의 2023개 수의 합의 일의 자리를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

2023 번째 줄에는 항이 2023 개 있지만, 그중 하나도 따로 필요하지 않습니다. 필요한 것은 총합뿐입니다. 그래서 첫 수는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)입니다. "그 2023 개 수는 무엇인가?"라는 질문을 "그 합은 얼마인가?"로 바꾸면 2023 개가 수 하나가 됩니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)가 두 번 일합니다. 먼저 그 하나의 수를 S_n 이라 이름 붙여야 줄과 줄 사이의 규칙을 쓸 수 있습니다. 그리고 핵심은 두 번째입니다. T_n = S_n + n 으로 다시 이름 붙이면, 매번 달라지는 +n-2가 붙은 지저분한 점화식이 순수한 두 배 규칙으로 바뀝니다. 점화식 자체는 도구 #16(관점 바꾸기)이 만들어 냅니다. n 번째 줄을 왼쪽부터 차례로 더하는 대신, n-1 번째 줄의 각 항이 몇 번씩 쓰이는지를 세는 것입니다. 마무리는 도구 #5(패턴 찾기)로, 2의 거듭제곱의 일의 자리는 네 개 주기로 반복됩니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 줄별 합 표를 남겨서, 뒤에 나오는 모든 주장을 그 표에 대조해 볼 수 있게 합니다.

1STEP 1

줄의 합 표로 만들기

몇 줄의 합을 표로 만듭니다.

n & n 번째 줄의 합 ; 1 & 1 ; 2 & 2 ; 3 & 5 ; 4 & 12 ; 5 & 27 ; 6 & 58

2STEP 2

항 말고 합 쫓기

항이 아니라 합만 쫓습니다.

S_n = n 번째 줄의 n 개 항의 합, S₁ = 1, S₂ = 2, S₃ = 5, S₄ = 12, S₅ = 27, S₆ = 58

3STEP 3

위 줄 항의 사용 횟수

가운데 항은 두 번씩 쓰입니다.

S_n = 2_양 끝 + (n-2)_가운데 항마다 +1 + (2S_n-1 - 2)_부모들, 양 끝은 한 번만 = 2S_n-1 + n - 2

4STEP 4

수열 밀기

살짝 밀면 규칙이 단순해집니다.

T_n = S_n + n → T_n = (2S_n-1 + n - 2) + n = 2S_n-1 + 2n - 2 = 2(S_n-1 + (n-1)) = 2T_n-1

5STEP 5

두 배 규칙 읽기

두 배 규칙이 2의 거듭제곱을 줍니다.

T₂ = 4 = 2², T_n = 2T_n-1 → T_n = 2ⁿ → S_n = 2ⁿ - n

6STEP 6

일의 자리 주기 쓰기

2의 거듭제곱의 일의 자리가 네 개 주기입니다.

2¹ → 2, 2² → 4, 2³ → 8, 2⁴ → 6, 2⁵ → 2, … 2023 = 4(505) + 3 → 2²⁰²³ ≡ 2³ ≡ 8 (mod 10)

7STEP 7

마지막 자리 빼기

빼면 5입니다.

S₂₀₂₃ = 2²⁰²³ - 2023 ≡ 8 - 3 ≡ 5 (mod 10) → (C)

8STEP 8

실제 줄로 확인

실제 줄로 식을 확인합니다.

S₅ = 2⁵ - 5 = 27 = 1+7+11+7+1, S₆ = 2⁶ - 6 = 58 = 1+9+19+19+9+1

정답

세 가지 확인이 모두 일치합니다. (1) 크기 — 항이 줄마다 대략 두 배가 되므로 줄의 합도 2ⁿ 근처일 것이라 예상되고, 2ⁿ - n 은 거기서 아주 조금 깎은 값입니다. n = 2023이면 빼는 2023은 2²⁰²³ 앞에서 무시할 만큼 작지만, 마지막 자리를 8 에서 5로 바꾸는 것이 바로 그 항이므로 절대 버릴 수 없습니다. (2) 직접 검증 — 닫힌 식을 셋째 줄부터 여섯째 줄까지, 모두 규칙에서 곧바로 만든 줄에 대조했고 매번 맞았습니다. (3) 함정 — -2023을 잊은 사람은 8을 읽고 (D)를 고릅니다. 파스칼 삼각형처럼 그냥 두 배가 된다고 가정한 사람은 S_n = 2ⁿ⁻¹을 얻어 일의 자리 4에 도달하는데, 4는 선택지에 아예 없습니다. 그 없음 자체가 규칙의 +1이 답을 실제로 바꾼다는 신호입니다. 8 - 3 에서 나온 5가 선택지 (C)입니다.

💡핵심 정리

위 줄에서 아래 줄을 만드는 규칙이 주어지면 항을 쫓지 말고 줄의 합만 쫓으세요. 여기서는 합을 S_n + n 으로 밀면 매 줄 두 배가 되어 S_n = 2ⁿ - n 이 되고, 2²⁰²³ - 2023의 마지막 자리는 8 - 3 = 5입니다.

줄과 줄의 합을 표로 정리
항 말고 합을 쫓아가기
위 줄의 각 항이 몇 번 쓰이는지 세기
수열을 밀어서 흔들리는 항 없애기
두 배 규칙은 2의 거듭제곱
2의 거듭제곱의 일의 자리는 네 개 주기
마지막 자리끼리 빼기
실제 줄로 식 확인하기