AMC 10 · 2023 · #21

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

probability-basicspatial-visualizationpolyhedron-netssymmetry-argument complementary-countingcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정이십면체에서 두 꼭짓점 사이의 거리를 최소 모서리 수로 정의합니다. 서로 다른 세 꼭짓점을 무작위로 고릅니다. 첫 거리가 둘째 거리보다 클 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{22}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{3}{8}$

(D)

$\frac{5}{12}$

(E)

$\frac{1}{2}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

d(Q,R) ＞ d(R,S) 인 경우를 직접 세려면 Q, S 의 세 거리 값을 모두 경우 분석해야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)가 영리한 수: 대칭으로 P( ＞ ) = P( ＜ ), 그래서 1 = P( ＞ ) + P( ＜ ) + P(=) = 2 P( ＞ ) + P(=). P(=)만 구하면 끝. 도구 #10(직접 만져보기) — 정이십면체 모형을 시각화 — 로 꼭짓점 거리 분포 (5, 5, 1)를 읽어내고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 d(R,Q)=d(R,S) 인 순서쌍 (Q, S)를 거리 값별로 합산합니다.

1STEP 1

거리 분포 세기

한 꼭짓점에서의 거리 분포를 셉니다.

R 에서: 5 개가 d=1, 5 개가 d=2, 1 개가 d=3

2STEP 2

대칭으로 줄이기

두 방향이 대칭입니다.

P( ＞ ) = (1 - P(=))/2

3STEP 3

전체 경우 세기

남은 두 꼭짓점의 순서쌍을 셉니다.

11 × 10 = 110

4STEP 4

같은 경우 세기

거리가 같은 경우를 셉니다.

#{(Q,S): d(R,Q)=d(R,S)} = 20 + 20 + 0 = 40

5STEP 5

확률 구하기

나누면 22분의 7입니다.

P( ＞ ) = (1 - 4/11)/2 = 7/22 → (A)

정답

7/22

수치 점검. P( ＞ ) = 7/22 ≈ 0.318, 1/3 바로 아래로 적절한 범위입니다. 만약 11 · 10 = 110 쌍이 ＞ , ＜ , = 셋으로 정확히 삼등분되면 각 1/3 이지만, P(=) = 4/11 ≈ 0.364가 1/3 보다 살짝 크므로 P( ＞ )는 1/3 보다 살짝 작아 7/22. 거리 분포 (5, 5, 1)은 R 제외 11 개 꼭짓점 전체를 정확히 덮고, 같은 거리 쌍 40 개는 단일 대척점 경우를 제대로 제외. 7/22는 선택지에 정확히 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 정이십면체를 머릿속에 그려 한 꼭짓점에서 나머지 11 개가 5+5+1로 분포함을 보고, 대칭으로 P( ＞ ) = (1 - P(=))/2. 110 쌍 중 같은 거리 40 쌍이라 7/22.

거리 분포 세기

대칭으로 줄이기

전체 경우 세기

같은 경우 세기

확률 구하기

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