AMC 10 · 2023 · #25
학년 12 algebra답을 골라 클릭하세요.
2023이라는 수는 겁을 주기 위한 장치일 뿐 본질이 아니다. 문제의 구조는 그 값에 전혀 기대지 않으므로, 첫 수순은 2023을 3, 5, 7로 바꿔 놓고 탄젠트 덧셈정리가 무엇을 내놓는지 보는 것이다. 작은 경우들은 문제가 말하는 모양이 실제로 나타남을 확인해 주고, 최고차 계수에 대한 후보 패턴까지 건네준다. 다만 세 경우에서 얻은 패턴은 추측일 뿐이므로, 두 번째 수순으로 그 뒤에 있는 장치를 찾는다. 각에 n을 곱하는 일은 복소수를 n제곱하는 일과 같고, 양변을 cosⁿ x로 나누면 삼각함수 등식 전체가 (1 + itan x)ⁿ 하나로 무너진다. 그러면 이항정리가 모든 계수를 한꺼번에 이름 붙여 준다. 계수는 부호를 번갈아 단 이항계수이고, 그중 최고차 계수가 가장 쉽다. C(2023, 2023) = 1이기 때문이다. 계획의 마지막 조각은 작은 경우들로는 결코 해결되지 않는 별도의 문제, 곧 정수 나열이 둘 이상 있을 수 없음을 보이는 일이다. 그래야 구한 계수를 '그' a_i라고 부를 수 있다.
탄젠트에 이름 붙이기
탄젠트에 짧은 이름을 붙입니다.
tan x에 이름을 붙이면 삼각함수 등식이 두 다항식의 분수가 되고, 다항식의 최고차 계수는 눈에 보이는 수 하나다.
9.A-SSE.A.1Introduce A Variable작은 배수로 시험하기
세 배에서 같은 질문을 던집니다.
배수가 크면 구조가 가려지므로, 한 줄에 적을 수 있을 때까지 배수를 줄여 놓고 본다.
11.F-TF.C.9Solve An Easier Related Problem두 경우 더 보기
두 경우를 더 보면 패턴이 잡힙니다.
부르지도 않은 파스칼 삼각형이 나타났다면, 무대 뒤에서 무언가가 거듭제곱되고 있다는 신호다.
9.A-SSE.A.2Look For A Pattern각의 곱셈은 거듭제곱
각을 곱하는 것이 복소수의 거듭제곱입니다.
코사인을 지우는 것은 cosⁿ x로 나누는 동작이다. 비는 위아래가 공유하는 인수에 신경 쓰지 않기 때문이다.
12.N-CN.B.5Convert To Algebra이항정리로 계수 얻기
이항정리가 모든 계수를 줍니다.
i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1을 반복하므로, 전개식 하나가 저절로 홀수 쪽과 짝수 쪽으로 갈리며 부호가 번갈아 붙는다.
허수 단위의 거듭제곱은 네 값을 돌므로, 한 번의 전개가 홀수 부분과 짝수 부분으로 갈라진다.
▸ 왜?
복소수는 방향을 지닌 점이며, 허수 단위를 곱하면 4분의 1 바퀴 돈다.
▸ 왜?
4분의 1 회전 넷이 한 바퀴가 되어, 모든 값이 정확히 처음 자리로 돌아온다.
나열이 하나뿐임 확인
분자와 분모가 서로소라 유일합니다.
위아래에 공통인수가 없고 크기까지 고정되어 있으면, 어디서나 값이 같은 두 분수는 같은 분수일 수밖에 없다.
11.A-APR.C.4Identify Subproblems최고차 계수 읽어내기
마지막 계수는 마이너스 1입니다.
마지막 계수가 가장 쉽다. 파스칼 한 행의 마지막 항은 언제나 1이라서 남는 문제는 부호뿐이다.
9.A-SSE.A.1Eliminate Possibilities각에 n을 곱하는 것은 1 + itan x를 n제곱하는 것과 같다. 그래서 배각 공식의 계수는 전부 부호가 붙은 이항계수일 뿐이다.
- 탄젠트에 짧은 이름 붙이기
- tan 3x에 같은 질문 던지기
- 두 경우 더 보면 패턴이 잡힌다
- 각을 곱하는 것은 거듭제곱하는 것
- 이항정리가 모든 계수에 이름을 붙인다
- 다른 나열이 없음을 확인하기
- 최고차 계수 읽어내기