AMC 10 · 2023 · #19

학년 8 probability

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

probability-basicparitygenerating-functionscombinations-basicpattern-recognition easier-related-problempattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicparitycombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

구별되는 공 2023개를 통 세 개에 떨어뜨립니다. 각 공은 독립적으로 고르게 아무 통에나 들어갑니다. 세 통 모두 홀수 개의 공을 갖게 될 확률에 가장 가까운 보기를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

$\frac{3}{10}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{4}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

3²⁰²³ 경우를 직접 셀 수 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 2023 대신 작은 홀수 n = 1, 3, 5로 줄이면 손으로 계산 가능. 도구 #5(패턴)가 확률이 1/4에 빠르게 수렴함을 보여 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기)가 깔끔한 대수적 확인을 제공. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)로 극한을 선택지에 매칭.

1STEP 1

가장 작은 경우

가장 작은 경우는 불가능합니다.

n = 1: P₁ = 0

2STEP 2

세 개일 때

세 개일 때를 직접 셉니다.

n=3: P₃ = 3!/3³ = 6/27 = 2/9

3STEP 3

다섯 개일 때

다섯 개일 때도 셉니다.

n=5: P₅ = 60/243 = 20/81 ≈ 0.2469

4STEP 4

값의 흐름 보기

값이 한 값으로 수렴합니다.

P₁ = 0, P₃ = 2/9 ≈ 0.222, P₅ = 20/81 ≈ 0.2469 ↗ 1/4

5STEP 5

일반식 쓰기

일반식이 그 극한을 확인해 줍니다.

P_n = 1/4 (1 - 1/(3^ n-1)) → 1/4

6STEP 6

보기와 맞추기

가장 가까운 보기는 4분의 1입니다.

P₂₀₂₃ ≈ 1/4 → (E)

정답

1/4

세 가지 점검 통과. (1) 작은 경우 확률 0, 2/9, 20/81가 공식 1/4(1 - 1/3ⁿ⁻¹)과 정확히 일치: n=3 에서 1/4(1 - 1/9) = 2/9, n=5 에서 1/4(1 - 1/81) = 20/81. (2) 극한 1/4의 직관: 세 통 개수의 2³ = 8 가지 홀짝 패턴 중 (홀,홀,홀)은 1 개라 단순 기준선은 1/8 이지만, 합이 홀수임을 조건으로 두면 표본공간이 절반이 되어 두 배가 되어 1/4. (3) 0.25는 다른 선택지 3/10=0.3 (차 0.05), 1/3≈ 0.333 (차 0.083) 보다 (E)에 가장 가깝다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 8학년 지수 직관만 있으면 풀려요 — 공 2023 개 대신 n = 1, 3, 5로 줄여 보면 확률이 0, 2/9, 20/81, … 로 1/4을 향해 올라갑니다. 일반 공식 1/4(1 - 1/3ⁿ⁻¹)의 보정이 n=2023 에서 너무 작아, 가장 가까운 선택지는 (E) 1/4.