AMC 10 · 2023 · #21

학년 10 geometry-3d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

cone-unrollingshortest-patharc-length-radiansimilar-figurespythagorean-theorem spatial-visualizationidentify-subproblemsshortest-path ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarc-length-radian

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

전등갓은 꼭짓점을 잘라 낸 원뿔의 옆면으로, 위아래가 모두 뚫려 있고 덮개가 없습니다. 높이와 위아래 두 원의 지름이 주어집니다. 벌레가 아래 테두리에 있고 꿀은 위 테두리에서 벌레로부터 가장 먼 점에 있습니다. 벌레는 갓 위로만 걸을 수 있습니다. 가장 짧은 경로의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6 + 3\pi$

(B)

$6 + 6\pi$

(C)

$6\sqrt3$

(D)

$6\sqrt5$

(E)

$6\sqrt3 + \pi$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

휘어진 면 위의 최단 경로는 막막해 보이지만, 이 면이 어떤 종류인지 알아채면 달라집니다. 원뿔의 옆면은 꼭짓점에서 테두리로 뻗은 직선들로만 이루어져 있어서, 그중 한 줄을 따라 잘라 평면에 눌러 펼 수 있습니다. 늘어나는 곳이 하나도 없습니다(공간 상상하기). 펴도 표면을 따라 잰 길이는 그대로이므로, 휘어진 문제가 평면 문제로 바뀌고 평면에서 최단은 곧 직선입니다. 그다음은 펼친 그림의 정보를 정리하는 일입니다(그림 그리기). 중심은 어디인지, 두 테두리는 중심에서 얼마나 떨어져 있는지, 부채꼴이 몇 도로 벌어지는지. 중심은 잘려 나간 원뿔의 꼭짓점이므로 미지수를 하나 두고 닮음으로 복원해야 하고(변수 도입하기), 두 테두리까지의 거리는 모선의 길이이므로 각각 작은 직각삼각형 계산이 됩니다(작은 문제로 쪼개기). 여기에 함정이 둘 숨어 있습니다. 펼친 부채꼴은 한 바퀴가 아닙니다. 테두리는 길이를 그대로 유지한 채 더 큰 원 위에 놓이므로 더 작은 각만큼만 감깁니다. 그리고 두 점을 잇는 직선은 위쪽 구멍이 남긴 빈 구멍 속으로 들어가 버려서 실제로 갈 수 없는 길입니다(가능성 지우기). 진짜 최단 경로는 그 구멍을 감싸며 팽팽하게 당겨진 실입니다(극단의 원리). 스치기 전까지는 곧게 가다가, 스친 다음부터는 가장자리에 붙어서 갑니다.

1STEP 1

표면 펼치기

펼치면 길이가 보존됩니다.

원뿔의 옆면 ⟶ 동심원호 두 개 사이의 평면 영역, 모든 길이 보존

2STEP 2

꼭짓점 복원하기

닮음으로 꼭짓점을 복원합니다.

3/6 = h/(h + 3√3) ⟹ 2h = h + 3√3 ⟹ h = 3√3, H = h + 3√3 = 6√3

3STEP 3

모선이 반지름이 된다

모선이 펼친 그림의 반지름이 됩니다.

L = √((6√3)² + 6²) = √(108 + 36) = 12, ℓ = √((3√3)² + 3²) = √(27 + 9) = 6

4STEP 4

펼친 모양 알아보기

펼친 모양은 반원 고리입니다.

θ = (테두리 길이)/모선 = (2π · 6)/12 = π 라디안 = 180°

5STEP 5

두 점 자리 잡기

벌레와 꿀의 자리를 잡습니다.

(6 - 3cosφ)² + (3sinφ)² + 27 = 72 - 36cosφ → φ = 180°; A = (12, 0), B = (6cos 90°, 6sin 90°) = (0, 6)

6STEP 6

직선이 벗어남 확인

직선이 갓을 벗어납니다.

|AB| = √(12² + 6²) = 6√5, dist(O, AB) = 12/√5 ≈ 5.37 ＜ 6

7STEP 7

실을 팽팽히 당기기

접선까지 팽팽히 당깁니다.

∠ OCA = 90°, AC = √(OA² - OC²) = √(12² - 6²) = √(108) = 6√3

8STEP 8

호를 더해 마무리

호를 더하면 6루트3 더하기 파이입니다.

cos(∠ AOC) = 6/12 = 1/2 → ∠ AOC = 60°, ∠ COB = 30° = π/6, 호 CB = 6 · π/6 = π, AC + frown{CB} = 6√3 + π

정답

6√3 + π

답을 수치로 보면 6√3 + π ≈ 10.392 + 3.142 = 13.534이고, 위아래로 아주 좁게 갇혀 있습니다. 아래쪽 경계부터 보면, 표면을 따라가는 어떤 길도 두 점 사이를 공중으로 가로지른 직선거리보다는 길 수밖에 없는데 그 값이 √(72 - 36cos 180°) = √(108) = 6√3 ≈ 10.392입니다. 이것만으로 선택지 (C)는 즉시 탈락합니다. 그 값이 되려면 벌레가 갓을 뚫고 지나가야 하기 때문입니다. 더 날카로운 하한은 펼친 그림에서 나옵니다. 평면에서 A와 B를 잇는 어떤 경로도 |AB| = 6√5 ≈ 13.416 이상이므로 답은 이 값보다 반드시 커야 하는데, 13.534 ＞ 13.416이고 차이가 일 퍼센트도 되지 않습니다. 막힌 직선이 구멍 안으로 겨우 0.63인치쯤만 파고들었으니 딱 그만큼의 차이가 나는 것이 자연스럽습니다. 위쪽 경계도 봅시다. 확실히 갈 수 있는 게으른 경로 하나는 아래쪽 테두리를 반 바퀴 기어간 다음 모선을 따라 곧장 올라가는 길인데, 길이가 12π/2 + 6 = 6π + 6 ≈ 24.85로 선택지 (B)와 같습니다. 즉 (B)는 실제로 갈 수 있는 길이지만 최선과는 거리가 멉니다. (A)의 6 + 3π ≈ 15.42 역시 우리가 이미 찾아낸 13.534짜리 경로보다 깁니다. 결국 6√5 바로 위의 좁은 구간에 들어오는 것은 (E)뿐입니다. 수치 검증도 일치합니다. "안쪽 테두리의 각 φ 지점까지 곧게 간 뒤 감아 도는" 경로 집합에서 길이를 최소화한 값과, 원형 구멍을 피해 도는 최단 경로를 따로 탐색해 얻은 값이 모두 13.5338975로 나와 6√3 + π와 소수점 일곱째 자리까지 같습니다.

💡핵심 정리

원뿔은 둥글게 만 종이라서 펴면 최단 경로가 직선이 됩니다. 다만 갓의 위쪽 구멍이 그 종이에 구멍을 남기므로, 직선으로 가다가 구멍에 살짝 스치는 순간부터는 가장자리를 붙잡고 돌아가야 합니다.

표면을 평면으로 펼치기
잘려 나간 꼭짓점 복원하기
모선의 길이가 두 반지름이 된다
펼친 모양은 반원 고리이다
벌레와 꿀의 자리 잡기
직선은 갓을 벗어난다
실을 팽팽하게 당기기
호를 더해 마무리하기