AMC 10 · 2025 · #10

학년 10 geometry-2d
유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments
arc-length-radiansystems-of-equationsquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: circle-circumference
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
두 호가 같은 중심 O를 공유한다. 안쪽 호는 우호 AD이고, 바깥쪽 호는 열호 BC이다. A는 한 반지름 위에서 O와 B 사이에 있고, D는 다른 반지름 위에서 O와 C 사이에 있다. 우호 AD, 열호 BC, 그리고 두 선분 AB와 CD의 길이가 모두 2 pi이다. O에서 A까지의 거리를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$1 - \pi + \sqrt{\pi^{2} + 1}$
(C)
$\frac{\pi}{2}$
(D)
$\frac{\sqrt{\pi^{2} + 1}}{2}$
(E)
2
풀이 과정
전략 변수 도입하기

호의 길이는 반지름과 중심각을 함께 묶어 주지만, 각은 문제에서 주어지지 않는다. 그 각을 두 번째 변수로 이름 붙이면 두 개의 호 길이 조건이 같은 두 미지수에 대한 두 개의 방정식이 된다. 방정식 두 개와 미지수 두 개가 있으면 각을 소거하고 반지름을 정확히 구할 수 있으므로, 숨은 각을 도입하는 것이 문제 전체를 여는 열쇠이다.

1STEP 1

그림에서 두 반지름 읽어내기

A가 OB 위에 있어 OB = r + 2 pi (OC도 동일). 열호는 벌어진 각을, 우호는 나머지를 쓴다.

OA = OD = r, OB = OC = r + 2π
2STEP 2

각에 이름 붙이고 두 호의 길이 쓰기

theta를 열호의 각이라 하자. 호 = 반지름 곱하기 각으로 두 식 (1), (2)가 r과 theta에 대한 방정식이 된다.

(1) r(2π - θ) = 2π (2) (r + 2π) θ = 2π
3STEP 3

두 방정식을 더해 각 없애기

(1)+(2)로 r*theta가 상쇄되어 r + theta = 2, 즉 theta = 2 - r을 얻는다.

r(2π-θ) + (r+2π)θ = 4π → 2π r + 2πθ = 4π → r + θ = 2
4STEP 4

다시 대입해 이차방정식 만들기

theta = 2 - r을 (1)에 대입하면 r^2 + (2 pi - 2) r - 2 pi = 0. 근의 공식으로 푼다.

r(r + 2π - 2) = 2π → r² + (2π - 2)r - 2π = 0
5STEP 5

근호를 정리하고 맞는 근 고르기

근호 안이 4(pi^2 + 1)이라 근은 2 sqrt(pi^2 + 1). 반지름은 양수여야 하므로 플러스 부호만 남아 답은 (B).

r = (-(2π-2) ± 2√(π²+1))/2 = 1 - π ± √(π² + 1) → r = 1 - π + √(π² + 1)
정답
1 - π + √(π² + 1)
수치로 r = 1 - pi + sqrt(pi² + 1)은 약 1.155이므로 theta = 2 - r은 약 0.845 라디안이고 바깥 반지름 r + 2 pi는 약 7.438이다. 바깥 호를 확인하면 7.438 곱하기 0.845는 약 6.28로 2 pi이다. 안쪽 우호를 확인하면 1.155 곱하기 (2 pi - 0.845) = 1.155 곱하기 5.438은 약 6.28로 다시 2 pi이다. 두 호 조건이 모두 성립하므로 값이 일관된다. 또한 양수이고 바깥 반지름보다 작아 안쪽 반지름으로서 타당하다.
💡핵심 정리

호의 길이가 각을 숨기고 있으면 각에 이름을 붙여 각 호를 방정식으로 만들고, 두 방정식을 합쳐 각을 사라지게 하라.

  • 그림에서 두 반지름 읽어내기
  • 각에 이름 붙이고 두 호의 길이 쓰기
  • 두 방정식을 더해 각 없애기
  • 다시 대입해 이차방정식 만들기
  • 근호를 정리하고 맞는 근 고르기

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