AMC 10 · 2024 · #14
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
표에는 25 개의 칸이 있지만, 한 모서리를 고정하면 단 두 개의 "자유로운 수" 가 모든 것을 결정합니다. A₅,5 = 0에 닻을 내리고, 5 열의 위로 향하는 공차를 a, 5 행의 왼쪽으로 향하는 공차를 b 라 합시다. 이것만으로 도구 #13(대수로 바꾸기)을 써서 맨 아래 행과 맨 오른쪽 열의 모든 칸이 a 와 b 의 배수로 표시됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 다리 역할을 합니다 — 길이 5 인 등차수열에서 가운데 항은 양 끝항의 평균이라는 사실입니다. 이 성질을 3 행(A₃,1 = 12가 한쪽 끝)과 2 행(A₂,4 = 48이 양옆 두 항의 평균)에 적용하면 a, b 에 대한 깔끔한 2 × 2 일차연립방정식이 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정해 줍니다: 먼저 a, b 를 구하고, 그 다음 1 행에서 알 수 있는 두 칸으로 1 행의 공차를 구하고, 마지막에 A₁,2를 읽습니다. 25 개 변수로 정면돌파할 필요 없이 변수 두 개로 충분합니다.
0에서 출발하기
마지막 행과 열은 각각 공차 하나로 결정됩니다.
두 문자가 한 행과 한 열 전체를 책임지는 — 6학년 "변수는 수를 대신한다" 그대로의 한 수입니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra가운데 칸을 행으로 읽기
3행 3열은 양 끝의 평균입니다.
길이 5 등차수열의 가운데 항은 양 끝의 평균 — 6학년 "두 수의 평균" 규칙과 같습니다.
고르게 나아가는 다섯 항의 목록에서 가운데 항은 양 끝의 평균이다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 간격을 더한 것이므로, 가운데는 양 끝의 한가운데에 놓인다.
▸ 왜?
한가운데 값은 그 합을 둘로 나눈 것이며, 그것이 바로 평균이다.
같은 칸을 열로 읽기
같은 칸을 열로 읽으면 다른 표현이 나옵니다.
등차수열은 두 항만 알면 결정됩니다 — 빼서 공차를 얻고, 다시 더해 더 멀리 이동합니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra첫 번째 방정식
두 표현을 맞대면 a 더하기 2b는 26입니다.
같은 칸으로 가는 두 경로는 방정식을 만듭니다 — 6학년 "px + q = r 풀이" 형태.
6.EE.B.7Identify Subproblems48을 쓰는 두 번째 방정식
48도 같은 방식으로 3a 빼기 4b는 48을 줍니다.
같은 중간항 성질을 2 행에 적용 — 연속된 세 등차항에서 가운데는 양옆의 평균입니다.
7.EE.B.4Look For A Pattern연립방정식 풀기
두 공차는 20과 3입니다.
2 × 2 일차 연립을 가감법으로 — 정확히 8학년 "연립일차방정식" 기술입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra첫 행의 공차 구하기
첫 행은 공차 17로 흐릅니다.
등차수열의 두 항만 알면 한 번의 뺄셈(과 나눗셈)으로 공차가 나옵니다.
6.EE.B.7Identify Subproblems목표 칸 읽기
46에서 17을 빼면 29입니다.
1 행 등차수열 안에서 한 번의 뺄셈으로 마무리됩니다.
6.EE.A.2Identify Subproblems행도 열도 모두 등차수열인 표에서는 한 모서리에 두 문자만 두면 표 전체가 그 문자로 표현됩니다. "중간항은 양 끝의 평균" 으로 주어진 칸들을 2 × 2 연립방정식으로 바꾸고, 마지막에 필요한 행만 채우면 끝입니다.