AMC 10 · 2024 · #25

학년 11 countingalgebra
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
function-compositionline-symmetrycomplementary-countingsystematic-enumerationfactors convert-to-algebracaseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: function-evaluationpolynomial-factoringfactors
📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트
문제
a, b, c, d의 절댓값이 모두 5 이하이고 c와 d가 동시에 0은 아닌 정수 순서쌍 중에서, y = (ax+b)/(cx+d)의 그래프가 직선 y = x에 대해 대칭시켜도 그대로인 것의 개수를 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1282
(B)
1292
(C)
1310
(D)
1320
(E)
1330
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

"거울에 비춰도 그림이 똑같다"는 말은 그대로는 셀 수가 없다. 그래서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 이 문제의 엔진 전체다. y=x에 대한 반사는 좌표 두 개를 맞바꾸므로, 거울 조건은 (x,y)가 곡선 위에 있으면 (y,x)도 곡선 위에 있다는 뜻이고, 이는 곧 f가 자기 자신을 되돌린다는 것, 즉 f(f(x))=x라는 뜻이다. f에 f를 넣어 보는 계산은 짧고, 그 결과를 x와 비교하면 모든 항에서 (a+d)라는 인수 하나가 통째로 빠져나온다. 이 인수분해가 결정적이다. 문제가 딱 두 갈래로 갈리기 때문이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 두 갈래를 섞이지 않게 지킨다. 한 갈래는 직선 y=x 자체라 한 줄이면 끝난다. 다른 갈래는 a+d=0이라는 조건인데, 여기서 도구 #1(그림 그리기)이 제 몫을 한다. 수평선을 거울 앞에 세워 본 그림이 바로, 상수함수로 주저앉은 경우를 버려야 하는 이유를 보여 주기 때문이다. 이 갈래를 셀 때는 거꾸로 세는 편이 쉬우므로 도구 #16(관점 바꾸기)으로 a+d=0인 것을 먼저 전부 세고 나쁜 것을 빼며, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 곱이 -a²인 인수쌍을 훑어 그 나쁜 것들을 찾는다.

1STEP 1

거울 조건은 자기 역함수

조건은 f에 f를 넣으면 x라는 것뿐입니다.

(p,q) ⟼ (q,p)이므로 조건은 정의역의 모든 x에 대해 f(f(x))=x
2STEP 2

f에 f를 다시 넣기

합성해도 여전히 분수식 하나입니다.

f(f(x))=(a·(ax+b)/(cx+d)+b)/(c·(ax+b)/(cx+d)+d)=(a(ax+b)+b(cx+d))/(c(ax+b)+d(cx+d))=(a²+bc)x+b(a+d)/(c(a+d)x+(bc+d²))
3STEP 3

인수 a 더하기 d가 빠져나온다

정리하면 a 더하기 d가 통째로 인수가 됩니다.

[(a²+bc)x+b(a+d)]-x[c(a+d)x+(bc+d²)]=-(a+d)(cx²+(d-a)x-b)
4STEP 4

둘째 갈래는 직선 y = x

항등함수가 되는 경우가 10가지입니다.

c=0, a=d ≠ 0, b=0 ⟹ f(x)=x이고, 이런 순서쌍은 10개
5STEP 5

첫째 갈래와 주저앉는 경우

합이 0이어도 분모가 0이면 탈락입니다.

d=-a ⟹ f(f(x))=((a²+bc)x)/(a²+bc)이고, 이 값이 x가 되는 것은 bc ≠ -a²일 때
6STEP 6

빼기 전에 전부 세기

합이 0인 경우가 1320가지입니다.

11 · 11 · 11-11=1331-11=1320
7STEP 7

주저앉는 경우 세기

제외할 것이 38가지입니다.

10+4+12+4+4+4=38
8STEP 8

두 갈래 합치기

1282 더하기 10은 1292입니다.

(1320-38)+10=1282+10=1292
정답
1292
실제 순서쌍에 규칙을 대 보자. (a,b,c,d)=(1,1,1,-1)은 a+d=0이고 bc=1 ≠ -a²=-1이므로 세어져야 한다. f(x)=(x+1)/(x-1)에서 f(2)=3, f(3)=2이고 f(0)=-1, f(-1)=0이라서 점들이 좌표를 맞바꾼 짝으로 나오는데, 대칭이 요구하는 모습 그대로다. 이번에는 (1,-1,1,-1)을 보자. a+d=0이지만 bc=-1=-a²이라 38개의 제외 대상 중 하나다. f(x)=(x-1)/(x-1)=1로 구멍 하나 뚫린 수평선이고 거울상은 수직선이므로 제외가 맞다. 선택지를 갈라 놓는 것이 바로 이 경우다. 첫째 갈래이면서 c=0인 예로 (2,3,0,-2)를 보면 f(x)=(2x+3)/-2=-x-3/2로 기울기가 -1인 직선이다. y=x와 직각으로 만나므로 y=x에 대해 반사하면 양쪽 절반이 맞바뀌면서 같은 직선이 되고, 센 대로 대칭이다. a+d=0을 어기는 (2,1,1,1)은 f(f(x))=(5x+3)/(3x+2) ≠ x라서 제대로 탈락한다. 다음은 크기 점검이다. 허용되는 순서쌍은 11⁴-11=14630개이고 1292/14630≈ 8.8%인데, 식 a+d=0 하나만으로 기대되는 1/11≈ 9.1%보다 아주 조금 작다. 그 차이가 바로 38개의 제외분이고 방향도 맞다. 마지막으로 선택지 자체가 점검표다. 각 선택지가 특정한 실수에 대응하기 때문이다. 1330은 1320+10으로 상수함수 38개를 빼는 것을 잊은 값이고, 1320은 첫째 갈래만 세면서 제외도 직선 y=x도 놓친 값이며, 1282는 첫째 갈래는 제대로 했지만 y=x인 10개를 빠뜨린 값이다. 올바른 합계는 1292, 선택지 (B)이다.
💡핵심 정리

y=x에 대한 반사는 좌표 두 개를 맞바꿀 뿐이므로, 출력을 다시 넣었을 때 입력이 돌아오는 그래프가 곧 자기 자신을 비추는 그래프다. y=(ax+b)/(cx+d)에서는 이것이 a+d=0(또는 그냥 직선 y=x)을 강제하고, 1320-38+10=1292가 나온다.

  • 거울 조건은 f(f(x))=x
  • f에 f를 다시 넣기
  • 인수 a+d가 빠져나온다
  • 둘째 갈래는 직선 y=x
  • 첫째 갈래 a+d=0과 주저앉는 경우
  • 빼기 전에 a+d=0을 전부 세기
  • 곱이 -a²인 인수쌍 나열하기
  • 두 갈래 합치기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.