AMC 10 · 2024 · #14
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
모든 정수는 125의 소인수 5를 공유하거나 그렇지 않거나 둘 중 하나 — 도구 #16(관점 바꾸기)으로 이 이분법을 잡으면 어려운 한 문제가 쉬운 두 문제로 변합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 경우를 처리합니다: (a) n이 125와 서로소 — 오일러 정리가 φ(125) = 100 임을 이용해 n¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)을 한 줄로 끝냄, (b) n이 5의 배수 — n¹⁰⁰ = 5¹⁰⁰ k¹⁰⁰은 5¹⁰⁰ ≫ 5³ = 125의 배수라 나머지 0. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 n = 2 같은 작은 경우에서 (a)의 결론을 검증해, 정리 이름만 믿지 않고 답을 단단히 합니다.
두 무리로 나누기
n이 5로 나누어지는지가 갈림길입니다.
125의 소인수만 본다 — 6학년 최대공약수·최소공배수 관점에서 분기를 잡는 무브.
법 속에 숨은 소수로 경우를 가르는 것이 두 무리를 다르게 행동하게 만든다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 그 소수를 공유하는지는 깔끔한 예-아니오다.
▸ 왜?
그 소수를 지닌 수와 피한 수는 서로 다른 나눗셈 규칙을 따르므로, 깔끔하게 갈린다.
서로소인 경우
오일러 함수 값이 마침 100입니다.
지수가 토션트 φ 와 일치하면 서로소 밑은 모두 1로 떨어진다 — 8학년 정수 지수 성질의 깔끔한 한 줄.
8.EE.A.1Identify Subproblems작은 예로 확인
2의 100제곱도 1이 됩니다.
n = 2의 작은 검증으로 정리 이름에만 기대지 않고 결론을 확인.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem5의 배수인 경우
5의 거듭제곱이 넘쳐 나머지가 0입니다.
5¹⁰⁰ 안의 5³ 한 덩이가 이미 나누는 수를 먹어 치워, 나머지는 끌려갈 뿐.
8.EE.A.1Identify Subproblems가능한 값 세기
나올 수 있는 값은 0과 1, 곧 2가지입니다.
관점 바꾸기로 둘로 가르고 각 쪽이 정확히 하나의 나머지를 내놓음 — 5학년 "답을 작은 집합으로 쓰기".
5.OA.A.2Change Focus Count The Complement이 AMC 12 문제는 8학년의 정수 지수 성질과 "n 이 5의 배수인가 아닌가" 라는 깔끔한 두 가름만으로 풀려요 — 가능한 나머지 집합이 단지 {0, 1} 인 거죠!