AMC 10 · 2024 · #18

학년 5 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum
recursive-sequencesequences-geometricpattern-recognitionlucas-numbers pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-arithmeticpattern-recognition
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
피보나치 수열은 F1이 1, F2가 1이고 이후 항은 앞의 두 항의 합입니다. F2 나누기 F1 더하기 F4 나누기 F2 더하기 F6 나누기 F3 하고 F20 나누기 F10까지 열 개의 몫을 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
318
(B)
319
(C)
320
(D)
321
(E)
322
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

문제는 정의가 분명한 유한합 (10 개 비율)입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주축: F₁, …, F₂₀을 차례로 나열한 뒤 10 개 비율을 나열. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 시작점 — 처음 서너 항을 직접 계산해 보면 1, 3, 4, 7, … 처럼 정수입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 이 정수들이 피보나치식 점화 (a_n = a_n-1 + a_n-2, 1, 3으로 시작)를 따른다는 사실을 알려 줘, 나머지는 큰 피보나치 수를 나누는 대신 덧셈만으로 확장합니다. 정수 10 개를 손에 쥐면 답은 신중한 덧셈 한 번.

1STEP 1

필요한 항 적어 두기

스무 번째 항까지 미리 적어 둡니다.

F₁, F₂, …, F₂₀ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
2STEP 2

처음 몇 몫 계산하기

몫이 1, 3, 4, 7, 11로 나옵니다.

a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 4, a₄ = 7, a₅ = 11
3STEP 3

규칙 알아채기

몫도 앞 두 항의 합으로 커집니다.

a_n = a_n-1 + a_n-2 (n ≥ 3), a₁ = 1, a₂ = 3
4STEP 4

나머지 항 이어 가기

뒤이어 18, 29, 47, 76, 123이 나옵니다.

a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀ = 18, 29, 47, 76, 123
5STEP 5

열 개 더하기

모두 더하면 319입니다.

S = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 = 319 → (B)
정답
319
두 가지 확인. (1) 크기 — 가장 큰 항 a₁₀ = 123, 두 번째로 큰 a₉ = 76 이므로 합은 적어도 123 + 76 = 199, 많아야 10 · 123 = 1230. 319 (≈ 123 · 2.6)는 그 범위 안에 자연스럽게 들어옴. (2) 점화식 활용 — 루카스식 합에는 닫힌 형태 a₁ + a₂ + … + a₁₀ = a₁₂ - 3이 성립. 같은 점화로 a₁₁ = 76 + 123 = 199, a₁₂ = 123 + 199 = 322 → 322 - 3 = 319. 무료 검증이 일치. 인접 오답 318, 320, 321, 322는 모두 "한두 칸 빗나간" 산수 함정인데 이 재유도로 모두 배제됩니다.
💡핵심 정리

겁나 보이는 피보나치 비율도 처음 몇 개를 직접 나눠 보면 1, 3, 4, 7, 11 — 그 다음은 그냥 덧셈으로 123까지 이어지고, 10 개 합 319. 5학년 나눗셈과 4학년 수 패턴 규칙만으로 충분.

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