AMC 10 · 2024 · #25

학년 11 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

independent-eventsprobability-basicpermutations-basiccomplementary-counting caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicfundamental-counting-principlecombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

파블로가 공 6개를 칠합니다. 공마다 무늬(줄무늬 또는 점무늬)와 색(빨강 또는 파랑)을 정하는데, 이 12번의 선택은 모두 공정한 동전 던지기로 따로따로 정해집니다. 칠한 공 6개를 항아리에 넣고 프리다가 하나를 무작위로 꺼냅니다. 동전이 어떻게 나왔느냐에 따라 꺼낸 공이 빨강이라는 사건과 줄무늬라는 사건이 독립일 수도 아닐 수도 있습니다. 두 사건이 독립일 확률이 기약분수 n분의 m일 때 m을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

243

(B)

245

(C)

247

(D)

249

(E)

251

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

"두 사건이 독립일 확률"이라는 말은 얽혀 있게 들리므로, 먼저 이것을 손에 잡히는 형태로 만드는 것이 할 일이다. 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)가 그 일을 한다. 무늬와 색은 서로 겹치는 두 성질이므로 공 6개는 줄무늬-빨강, 줄무늬-파랑, 점무늬-빨강, 점무늬-파랑의 네 칸으로 나뉜다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 네 개수에 a, b, c, d라는 이름을 붙이면 독립 조건이 네 수에 대한 식 하나가 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 결정적인 전환점이고 이후의 모든 계산을 이끈다. 조건은 처음에 한쪽으로 치우친 6a=(a+b)(a+c) 꼴로 나타나지만, 6을 a+b+c+d로 바꿔 쓰면 대칭적인 ad=bc, 즉 이차 표의 두 대각선 곱이 같다는 조건으로 접힌다. 이 대칭적인 형태 덕분에 세는 일이 짧아진다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세기를 두 덩어리, 즉 빈 행이나 빈 열이 있는 표와 네 칸이 모두 찬 표로 가른다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 두 번째 덩어리를 끝낸다. 양의 정수 네 개의 합이 6이 되는 모양은 애초에 두 가지뿐이기 때문이다.

1STEP 1

항아리를 네 칸으로 나누기

공은 네 종류로만 나뉩니다.

a+b+c+d=6, a,b,c,d ≥ 0

2STEP 2

독립 조건을 식으로 바꾸기

조건이 개수만의 식으로 바뀝니다.

a/6=(a+b)/6·(a+c)/6 ⟺ 6a=(a+b)(a+c)

3STEP 3

대각선 곱으로 고쳐 쓰기

정리하면 대각선 곱이 같다가 전부입니다.

(a+b+c+d) a=(a+b)(a+c) ⟹ a²+ab+ac+ad=a²+ac+ab+bc ⟹ ad=bc

4STEP 4

납작한 표와 꽉 찬 표로 쪼개기

칸 하나가 비었는지로 두 갈래가 됩니다.

a=0 → bc=0 → b=0 또는 c=0이고, a=b=0, c=d=0, a=c=0, b=d=0 각각은 ad=0=bc를 준다.

5STEP 5

납작한 표 세기

겹침을 빼면 252가지입니다.

4 · 2⁶-4 · 1=256-4=252

6STEP 6

꽉 찬 표 세기

네 모양을 합쳐 720가지입니다.

6!/1! 1! 2! 2!=720/4=180, 4 · 180=720

7STEP 7

더하고 약분해서 m 읽기

약분하면 분자가 243입니다.

(252+720)/4096=972/4096=(2² · 3⁵)/2¹²=243/1024, m=243

정답

243

먼저 비슷한 항아리 두 개로 조건을 시험해 보자. (a,b,c,d)=(1,1,2,2)인 표는 독립이라고 셌다. 빨강이 a+c=3개, 줄무늬가 a+b=2개이므로 P(빨강)=3/6=1/2, P(줄무늬)=2/6=1/3, 그리고 P(둘 다)=1/6인데 이는 정확히 1/2·1/3이므로 실제로 독립이다. 바로 옆에 있는 표 (2,1,1,2)는 합도 모양도 같지만 탈락시켰다. 여기서는 P(빨강)=3/6=1/2, P(줄무늬)=3/6=1/2이라 곱이 1/4인데 P(둘 다)=2/6=1/3이므로 독립이 아니다. 즉 ad=bc라는 시험은 정말로 경우를 갈라내고 있고 아무거나 통과시키고 있지 않다. 다음으로 총합의 크기를 보자. 4096가지 색칠 결과를 표로 분류하면 ad=bc를 만족하는 표가 28개 나오고, 납작한 쪽이 252가지, 꽉 찬 표 네 개가 720가지를 실어 나른다. 252+720=972는 4096보다 넉넉히 작고 확률은 약 0.237이다. 마지막으로 선택지 자체가 답의 모양을 검사해 준다. 다섯 개가 모두 홀수이므로 m이 홀수이고, 그러면 n은 4096의 약수인 2의 거듭제곱이어야 한다. 분모를 1024로 놓고 보면 선택지는 243/1024≈ 0.2373부터 251/1024≈ 0.2451까지 늘어서는데, 972/4096=0.2373이 첫 번째인 (A)에 정확히 떨어진다. 기대지는 말되 눈여겨볼 만한 우연 하나. 243/1024은 마침 (3/4)⁵과 같다.

💡핵심 정리

"빨강"과 "줄무늬"가 독립이라는 말은 결국 줄무늬-점무늬 대 빨강-파랑 표의 두 대각선 곱이 같다, 즉 ad=bc라는 말이므로, 이 시험을 통과하는 표들을 찾아 각 표를 만드는 동전 결과가 4096가지 중 몇 가지인지로 무게를 매겨 더하면 972/4096=243/1024이 나온다.

항아리를 네 칸으로 나누기
독립 조건을 식으로 바꾸기
6a=(a+b)(a+c)를 ad=bc로 고쳐 쓰기
납작한 표와 꽉 찬 표로 쪼개기
납작한 표 세기: 252가지
꽉 찬 표 세기: 720가지
더하고 약분해서 m 읽기