AMC 10 · 2024 · #4

학년 6 arithmetic
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup
sequences-arithmeticmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmodular-arithmeticmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
1, 2, 3, 하고 번호가 매겨진 공을 A, B, C, D, E 통에 차례로 돌아가며 넣습니다. k단계에서는 공 k개를 한 통에 넣는데, 1단계는 A, 2단계는 B, 5단계는 E, 6단계는 다시 A 하는 식입니다. 2024번 공은 어느 통에 들어가는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
A
(B)
B
(C)
C
(D)
D
(E)
E
풀이 과정
전략 패턴 찾기

두 가지 패턴이 겹쳐 있는 문제입니다. 패턴 1: k 단계까지 누적 공 개수는 삼각수 T_k = (k(k+1))/2 — 도구 #5(패턴 찾기)로 k = 1, 2, 3의 누적 1, 3, 6, 10, … 에서 곧장 보입니다. 패턴 2: k 단계의 통은 k mod 5 에만 달려 있습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 √(2 · 2024) ≈ 64 부근의 k 를 시험해 빠르게 좁힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 작은 k 부터 손으로 더해 삼각수 공식을 얻는 데 씁니다.

1STEP 1

누적 개수를 식으로

k단계까지 누적은 삼각수입니다.

T_k = 1 + 2 + … + k = (k(k+1))/2
2STEP 2

대략의 단계 찾기

삼각수가 2024쯤이면 k는 63이나 64입니다.

k(k+1) ≈ 4048 → k ≈ 63 또는 64
3STEP 3

정확한 단계 확정

2024는 64단계에 들어갑니다.

T₆₃ = 2016, T₆₄ = 2080, 2017 ≤ 2024 ≤ 2080
4STEP 4

5로 나눈 나머지

64를 5로 나누면 나머지가 4입니다.

64 = 12 · 5 + 4 → 64 ≡ 4 (mod 5)
5STEP 5

통 이름 읽기

네 번째 통이므로 D입니다.

64 ≡ 4 (mod 5) ⟹ 통 D → (D)
정답
D
주어진 예로 교차 확인. 문제 본문에 22, 23, …, 28 번 공이 7 단계에서 통 B 에 들어간다고 했습니다. 7 ≡ 2 (mod 5) 라 통은 B — 일치. 그리고 T₆ = 21, T₇ = 28이라 7 단계는 22 ∼ 28 번 공을 담당 — 이것도 일치. 같은 논리로 T₆₄ = 2080과 64 mod 5 = 4가 2024 번 공의 통을 D 로 확정해 (D)와 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 "문자식"(T_k = (k(k+1))/2)과 4학년 "나머지"만 알면, 64 단계가 통 D 임을 짚어낼 수 있어요!

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