AMC 10 · 2025 · #13
학년 7 probabilitycounting답을 골라 클릭하세요.
13개 중에서 N개를 남기는 것은 몇 개를 빼는 것과 같으며, 남기는 수 대신 빼는 수에 초점을 맞추면 문제 전체가 훨씬 간단해진다. 남기는 집합을 가장 크게 하려면 빼는 집합을 가장 작게 하면 되므로, 먼저 몇 개를 빼야 모든 다섯 연속 묶음을 끊을 수 있는지를 묻는다. 그러면 두 개만 빼면 된다는 것이 드러나고, 표본공간과 조건을 만족하는 경우 모두 '빼는 두 수의 쌍'으로 자연스럽게 셀 수 있어, 무서운 부분집합 문제가 몇 개의 쌍을 세는 문제로 바뀐다.
가장 적게 빼서 가장 많이 남기기
하나만 빼면 남는 두 묶음을 모두 5 미만으로 만들 수 없어, 적어도 두 개를 빼야 한다.
가장 큰 남는 집합은 가장 작은 버리는 집합에서 나오므로, 뺄 수 있는 만큼 적게 빼는 경우부터 확인한다.
7.EE.B.4Extreme Principle두 개를 빼면 줄이 세 묶음으로 나뉜다
두 수 a, b를 빼면 줄이 세 묶음으로 나뉘고, 각각 5 미만이려면 a≤5, b−a≤5, b≥9이다.
빼는 두 자리에 이름을 붙이면 '다섯 연속 없음'이 확인하기 쉬운 세 개의 크기 조건으로 바뀐다.
덜어 낼 두 자리에 이름을 붙이면, 긴 연속을 금지하는 규칙이 세 가지 단순한 크기 제한이 된다.
▸ 왜?
덜어 냄이 줄을 겹치지 않는 세 덩어리로 자르므로, 각각을 따로 확인할 수 있다.
▸ 왜?
그 덩어리들이 남은 모든 수를 설명하므로, 확인을 벗어나는 것이 없다.
조건을 만족하는 빼는 쌍 나열하기
세 조건을 만족하는 쌍은 (4,9), (5,9), (5,10)뿐이라 두 개만 빼면 되고 N = 11.
허용되는 몇 안 되는 a 값을 짧고 체계적으로 훑으면 빠뜨림 없이 모든 성공 쌍을 찾는다.
7.SP.C.8Make A Systematic List똑같이 일어날 수 있는 모든 뽑기 세기
11개를 남기는 것은 2개를 빼는 것과 같으니, 똑같이 일어날 경우의 수는 C(13,2) = 78이다.
11개를 남기는 것보다 2개를 빼는 것을 세는 편이 쉽고, 그 결과 나오는 경우들의 목록은 똑같다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement조건을 만족하는 경우를 전체로 나누기
세 성공 쌍이 곧 조건을 만족하는 빠짐 경우라, 확률은 = 이고 (D)이다.
좋은 11개짜리 부분집합은 각각 정확히 하나의 좋은 뺀 수 쌍과 짝지어지므로, 조건을 만족하는 경우와 성공 쌍은 같은 세 개다.
7.SP.C.7Eliminate Possibilities많이 남길 것을 고르는 것보다 몇 개 뺄 것을 고르는 편이 흔히 더 쉽고, 확률은 그저 조건을 만족하는 경우를 똑같이 일어날 수 있는 전체 경우로 나눈 것이다.
- 가장 적게 빼서 가장 많이 남기기
- 두 개를 빼면 줄이 세 묶음으로 나뉜다
- 조건을 만족하는 빼는 쌍 나열하기
- 똑같이 일어날 수 있는 모든 뽑기 세기
- 조건을 만족하는 경우를 전체로 나누기