AMC 10 · 2025 · #18
학년 11 counting답을 골라 클릭하세요.
세 조건은 x, y, z 를 똑같이 다루므로, 도구 #15 (다르게 정리하기)로 순서를 더 이상 따지지 않고 x ＜ y ＜ z 인 집합 {x, y, z} 자체만 살펴본 뒤 마지막에 × 6 배로 순서를 되살린다. 그다음 도구 #14 (극단의 원리)로 가장 작은 값에 주목한다: 이것으로 1은 곧바로 배제되고, 가장 작은 수가 2 이상이면 세 부등식 중 두 개는 결코 깨지지 않음을 보여 문제 전체가 단 하나의 조건 xy ＞ z 로 줄어든다. xy ＞ z 를 만족하는 집합을 정면으로 세는 것은 번거로우므로 도구 #16 (관점 바꾸기)으로 뒤집는다: 모든 3-원소 집합을 센 뒤 실패하는 소수의 경우를 빼고, 그 짧은 실패 목록은 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 손으로 만든다.
순서를 버리고 집합만 남기기
세 규칙이 수를 똑같이 다루므로, x ＜ y ＜ z 인 순서 없는 집합을 세고 3! = 6을 곱해 순서를 되살린다.
규칙이 순서를 무시하므로, 집합을 한 번 깔끔히 센 뒤 6 가지 배열을 곱하면 순서쌍의 총개수가 된다.
규칙이 순서를 따지지 않으므로, 모임을 한 번 깔끔히 세고 곱하면 순서 있는 총수가 된다.
▸ 왜?
각 모임이 같은 수의 순서와 대응하므로, 두 개수는 배율 하나만큼 차이 난다.
▸ 왜?
모임을 고르는 일과 순서를 고르는 일은 따로이므로, 그 개수가 곱해진다.
숫자 1은 불가능하다
가장 작은 값이 1이면 xy ＞ z, xz ＞ y 가 y ＞ z, z ＞ y 를 요구해 모순이다. 따라서 모든 값은 2 이상이다.
1을 곱해도 수는 그대로이므로, 1은 결코 자신보다 큰 상대를 곱으로 이길 수 없다.
9.A-REI.B.3Extreme Principle부등식 하나만 깨질 수 있다
x ＜ y ＜ z, x ≥ 2이면 yz ＞ x 와 xz ＞ y 는 자동 성립하므로, 오직 xy ＞ z 만 깨질 수 있다.
가장 작은 수가 2 이상이면, 가장 작은 두 수의 곱을 뺀 모든 곱은 상대 수를 넉넉히 넘어선다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle모든 집합을 세고, 빼기로 계획하기
{2,…,8}의 3-원소 집합은 C(7, 3) = 35 개, 여기서 xy ＞ z 를 깨는 것을 뺀다.
실패하는 경우는 드물므로, 전체를 한 번 세고 나쁜 경우만 떼어내는 편이 빠르다.
10.S-CP.A.1Change Focus Count The Complement실패하는 경우를 손으로 나열하기
실패하려면 xy ≤ z ≤ 8: (2,3)은 z ∈ {6,7,8}, (2,4)는 z = 8, 더 큰 쌍은 8 초과 — 실패 4 개.
곱 xy 는 가장 작은 두 인수일 때만 작게 유지되므로, 실패할 수 있는 쌍은 몇 개뿐이다.
9.A-CED.A.3Make A Systematic List개수를 종합하기
유효한 집합은 35 - 4 = 31 개, 각각 6 개의 순서쌍으로 펼쳐져 31 × 6 = 186, 곧 선택지 (C)이다.
살아남은 집합에 6 가지 순서를 곱하면 집합의 개수가 순서쌍의 개수로 바뀐다.
11.S-CP.B.9Organize Information In More Ways규칙이 순서를 따지지 않으므로 세 수의 집합을 대신 세고, 가장 작은 두 수만이 규칙을 깰 수 있음을 알아채어 그 몇 안 되는 실패를 뺀 다음, 6을 곱하면 된다.
- 순서를 버리고 집합만 남기기
- 숫자 1은 불가능하다
- 부등식 하나만 깨질 수 있다
- 모든 집합을 세고, 빼기로 계획하기
- 실패하는 경우를 손으로 나열하기
- 개수를 종합하기