AMC 10 · 2025 · #9

학년 8 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

tens-digit-trackingmodular-arithmeticexponents pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6의 6의 6제곱은 지수가 다시 6의 6제곱인 거듭제곱탑입니다. 완성된 수는 자릿수가 수만 개라 결코 적어 낼 수 없습니다. 그 수의 십의 자리 숫자를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

수 자체는 손댈 수 없으니 쫓아가지 않는다. 십의 자리를 정하는 것은 끝 두 자리뿐이고, 곱의 끝 두 자리는 곱하는 수들의 끝 두 자리에만 달려 있다. 이것이 훨씬 쉬운 관련 문제이고, 아무리 곱해도 두 자리를 넘지 않는다. 두 자리만 남기며 6을 계속 곱하면 값은 반드시 반복되므로, 반복 주기를 찾은 뒤 지수 46656이 주기의 어디에 놓이는지 따진다. 작업은 세 조각으로 나눈다: 탑의 지수 계산, 주기 찾기, 지수의 위치 찾기.

1STEP 1

지수부터 계산하기

지수는 46656입니다.

6⁶ = 46656 ⟹ 6⁶⁶ = 6⁴⁶⁶⁵⁶

2STEP 2

수 전체 대신 끝 두 자리만 보기

수 전체 대신 끝 두 자리만 봅니다.

N = 100k + r, 0 ≤ r ＜ 100

3STEP 3

끝 두 자리는 끝 두 자리만 먹고 산다

끝 두 자리는 끝 두 자리만 먹고 자랍니다.

6ⁿ⁺¹ = 6ⁿ · 6 (매번 끝 두 자리만 남긴다)

4STEP 4

끝 두 자리를 나열해 주기 찾기

나열하면 주기 5가 보입니다.

6¹ → 06, 6² → 36, 6³ → 16, 6⁴ → 96, 6⁵ → 76, 6⁶ → 56, 6⁷ → 36, …

5STEP 5

46656이 주기의 어디인지 찾기

46656은 주기에서 6의 6제곱과 같은 자리입니다.

46656 = 5 · 9331 + 1, 6 = 5 · 1 + 1

6STEP 6

지수법칙으로 확인하고 자릿수 읽기

끝 두 자리가 56이니 십의 자리는 5입니다.

6⁴⁶⁶⁵⁶ = 6⁶ · (6⁵)⁹³³⁰ → 56 × 76 = 4256 → … 56

정답

주기에 등장하는 다섯 값 36, 16, 96, 76, 56의 십의 자리는 3, 1, 9, 7, 5로, 보기 다섯 개와 정확히 일치한다. 즉 문제의 전부가 '어느 자리에 착지하는가'이며, 어떤 보기도 모양만으로는 걸러낼 수 없다. 직접 확인은 간단하다. 6⁶ = 46656은 평범한 곱셈으로도 56으로 끝나고, 46656과 6은 5로 나눈 나머지가 똑같이 1 이므로 6⁴⁶⁶⁵⁶ 역시 56으로 끝난다. 십의 자리는 5, 곧 보기 (C) 다. 주기 길이를 하나 어긋나게 셌을 가능성도 막아 두면, 6⁷ = 279936은 36으로 끝나 덩어리가 다시 시작되는 지점과 맞으므로 주기는 4도 6도 아닌 5가 맞다.

💡핵심 정리

거대한 수 자체는 필요 없다. 곱하는 동안 끝 두 자리만 붙잡고 있으면, 다섯 번마다 같은 값이 되돌아온다.

지수부터 계산하기
수 전체 대신 끝 두 자리만 보기
끝 두 자리는 끝 두 자리만 먹고 산다
끝 두 자리를 나열해 주기 찾기
46656이 주기의 어디인지 찾기
지수법칙으로 확인하고 자릿수 읽기