AMC 8 · 1999 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

pattern-recognitionset-partitionsystematic-enumerationsequences-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다섯 개의 수 1, 4, 7, 10, 13 을 십자 모양의 다섯 칸에 각각 한 번씩 놓되, 가로 줄의 세 수의 합과 세로 열의 세 수의 합이 같도록 합니다. 이 공통 합이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

십자 모양을 그려 보면(도구 #1) 핵심이 보입니다 — 가운데 칸은 가로 줄에도, 세로 열에도 함께 들어가요. 가로 합과 세로 합을 더하면 바깥 네 수는 한 번씩, 가운데 수는 두 번 세어집니다. 그래서 2S = 35 + 가운데 라는 식이 나옵니다 — 도구 #11(변하지 않는 것 찾기). 35 는 고정이니 S 는 가운데 수에만 달려 있고, S 를 크게 만들려면 가운데를 가장 큰 수로 두면 됩니다. 양옆에 무엇을 어디 놓을지 일일이 따질 필요가 없어요.

1STEP 1

십자를 그리면 가로(왼·가운데·오른쪽)와 세로(위·가운데·아래)가 가운데 칸을 공유해요.

공유되는 칸 = 가운데

2STEP 2

가로+세로를 더하면 바깥 네 수는 한 번, 가운데는 두 번, 다섯 수 합은 35.

S + S = (1 + 4 + 7 + 10 + 13) + 가운데 = 35 + 가운데

3STEP 3

식을 S 에 대해 정리합니다. 양변을 2 로 나눕니다.

2S = 35 + 가운데 → S =

\frac{35 + 가운데}{2}

4STEP 4

가운데를 크게 하려고 가장 큰 13 을 넣으면 S = $\frac{35+13}{2}$ = 24. 48 이 짝수라 정수예요.

가운데 = 13 → S =

\frac{35 + 13}{2}

\frac{48}{2}

= 24

5STEP 5

남은 {1, 4, 7, 10} 을 합 11 인 (1,10)·(4,7) 로 나누면 가로·세로 모두 24 → (D).

가로: 1 + 13 + 10 = 24, 세로: 4 + 13 + 7 = 24 → (D)

정답

다른 선택지도 같은 식 S =

\frac{35 + 가운데}{2}

로 점검합니다. 가운데 = 1 → S = 18, 가운데 = 7 → S = 21, 가운데 = 13 → S = 24. 가운데가 4 또는 10 이면 35 + 가운데 가 홀수가 되어 S 가 정수가 아니므로 그 가운데로는 만들 수 없습니다. 따라서 가능한 공통 합은 18, 21, 24 뿐이고 최댓값 24 가 (D) 와 일치합니다. (E) 30 은

\frac{35 + 13}{2}

= 24 를 넘으므로 어떤 가운데로도 도달 불가 — (D) 가 확정됩니다.

💡핵심 정리

가로 합과 세로 합을 더하면 가운데 칸이 두 번 세어져요. 그래서 2S = 35 + 가운데. S 를 가장 크게 하려면 가장 큰 수 13 을 가운데에 놓으면 됩니다 — 이때 S = 24.

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