AMC 8 · 2007 · #22

학년 6 geometry-2d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Rectilinear Perimeter Closure

coordinate-geometryspatial-visualizationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 10 미터인 정사각형의 한 꼭짓점에서 레밍이 출발합니다. 대각선 방향으로 6.2 미터를 달린 뒤 오른쪽으로 90^° 꺾어서 2 미터를 더 달립니다. 도착한 지점에서 정사각형의 네 변까지 잰 수직 거리 네 개의 평균은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

6.2

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

경로 정보(6.2 미터 → 90^° 회전 → 2 미터)는 사실 함정이에요. 한 변이 10 인 정사각형 안 어떤 점에서든 마주 보는 두 변까지의 거리의 합은 항상 10 입니다 — 이게 불변량(invariant)이죠. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 바로 이 신호를 잡아 줍니다. 도구 #1(그림 그리기)로 최종 위치에서 네 변에 수선을 내리면 구조가 한눈에 보이고, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 점을 (x, y) 라 두면 식에서 x, y 가 자연스럽게 소거됩니다.

1STEP 1

출발 꼭짓점을 원점에, 네 변을 좌표축에 두고 레밍의 최종 위치를 (x, y) 라 한 뒤 네 변으로 수선을 내립니다.

네 거리 = x, 10 - x, y, 10 - y

2STEP 2

x, y 의 실제 값은 필요 없어요 — 마주 보는 짝의 합만 알면 되니 네 거리를 식으로 적습니다.

왼쪽까지 = x, 오른쪽까지 = 10 - x, 아래쪽까지 = y, 위쪽까지 = 10 - y

3STEP 3

네 거리를 더하면 x 항과 y 항이 소거되고, 점의 위치와 무관하게 합은 항상 20 입니다.

x + (10 - x) + y + (10 - y) = 20

4STEP 4

합이 20 이므로 네 거리의 평균은 $\frac{20}{4}$ = 5.

평균 =

\frac{20}{4}

= 5 → (C)

정답

정사각형 안 아무 점이나 골라 확인해 봅시다. 중심 (5, 5) 는 네 거리가 모두 5 이므로 평균은 5. 점 (2, 9) 는 거리가 2, 8, 9, 1 이고 합이 20, 평균도 5. 레밍이 실제로 어디에 떨어지는지는 중요하지 않아요 — 내부의 모든 점이 같은 평균을 줍니다. 경로 숫자 6.2 와 2 는 의도된 미끼이고, 답은 (C) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

한 변이 10 인 정사각형 안 어디에 있든, 네 변까지 수직 거리의 합은 늘 20 이고 평균은 5 입니다. 경로의 6.2 와 2 는 풀이에 끼지 않는 미끼예요.

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