AMC 8 · 2014 · #19
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
3D 배치 문제이므로 도구 #10 의 전형적 신호 — 블록 27 개를 실제로 쌓거나 머릿속에서 3 × 3 × 3 큐브를 그려 보면, 자리마다 바깥으로 드러나는 면 수가 다르다는 게 바로 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 세 조각 — (i) 전체 겉넓이 계산, (ii) 27 칸을 "드러나는 면 수" 로 분류, (iii) 흰 큐브를 가장 안 보이는 자리부터 차례로 배치 — 으로 나눕니다. (ii) 단계의 분류는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 드러나는 면 수가 적은 순서대로 자리 종류를 죽 적고 개수를 세면 빠뜨릴 일이 없습니다.
면 6 개가 각각 3 × 3 = 9 제곱인치이므로 전체 겉넓이는 54 제곱인치입니다.
큰 정육면체의 바깥을 6 개의 정사각형 면으로 쪼개 한 면의 넓이를 구한 뒤 곱하는 것이 6학년 겉넓이 계산 그대로입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems27 자리를 드러나는 면 수로 나눕니다 — 꼭짓점 3, 모서리 2, 면 중앙 1, 정중앙은 0.
큐브를 손으로 (혹은 머릿속으로) 만져 보면 네 가지 자리 유형이 바로 보입니다 — 꼭짓점은 세 방향, 모서리는 두 방향, 면 중앙은 한 방향, 정중앙은 한 방향도 바깥과 닿지 않습니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation자리 유형을 노출 순서로 나열해 개수를 더하면 27 이 되어 빠진 자리가 없습니다.
드러나는 면 수 0, 1, 2, 3 순서로 자리를 적는 systematic list 덕분에 어떤 자리도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 됩니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List가장 안 보이는 자리부터 — 흰 큐브 1 개는 정중앙(0 면), 나머지 5 개는 면 중앙(각 1 면).
흰 면 노출의 합을 줄이려면 가능한 한 많은 큐브를 숨기고, 남는 큐브는 각각 한 면씩만 보이도록 두는 것이 최적 — 이것이 "노출 합 최소화" 라는 작은 문제의 그리디 해법입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems중앙 큐브는 0, 면 중앙 큐브 5 개는 각각 1 × 1 칸을 드러내므로 흰 겉넓이는 5 제곱인치입니다.
각 자리에서 드러나는 면 수를 모두 더해 숫자로 바꾸는 단계 — 6학년 겉넓이 계산을 흰색 부분에만 적용한 셈입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems흰 겉넓이 ÷ 전체 = , gcd(5, 54) = 1 이므로 이미 기약분수입니다.
전체에 대한 부분의 비율을 분수로 표현하는 것은 3학년 분수 개념 그대로 — 겉면 54 칸 중 5 칸이 흰색입니다.
3.NF.A.1Identify Subproblems흰 큐브 하나는 정중앙에 숨기고, 나머지 다섯은 각 면 중앙에 한 칸씩만 보이도록 두면 흰색 겉넓이를 가장 작게 만들 수 있어요.
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