AMC 8 · 2005 · #20

학년 5 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

modular-arithmeticlcmequal-spacing modular-arithmeticidentify-subproblems ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 위에 12 개의 점이 같은 간격으로 놓여 있고 시계 방향으로 1 부터 12 까지 번호가 매겨져 있습니다. 앨리스와 밥은 둘 다 12 번 점에서 시작합니다. 한 턴마다 앨리스는 시계 방향으로 5 칸, 밥은 반시계 방향으로 9 칸 움직입니다. 둘이 처음으로 같은 점에 멈추는 것은 몇 턴 후일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

선택지가 6, 8, 12, 14, 24 로 모두 작고, 매 턴 위치 갱신은 12 점짜리 시계 위에서 덧셈·뺄셈 한 번이면 끝납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 상황이죠. (턴, 앨리스 위치, 밥 위치) 표를 만들고 두 열이 처음 같아지는 줄을 찾으면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 보조로 사용 — 매 턴 앨리스는 5 칸, 밥은 9 칸 이동하므로 두 사람 사이의 "간격" 변화도 일정합니다. 이 일정한 변화 덕분에 매번 처음부터 계산할 필요 없이 순환 패턴이 한눈에 드러납니다.

1STEP 1

턴 0 부터 시계 위에서 둘을 따라갑니다: 매 턴 앨리스는 5 커지고(12 넘으면 순환), 밥은 9 작아집니다(1 아래로 순환).

앨리스 다음 = 앨리스 지금 + 5 (mod 12), 밥 다음 = 밥 지금 - 9 (mod 12)

2STEP 2

12 에서 매 턴 5 씩 더하면 앨리스의 위치는 5, 10, 3, 8, 1, 그리고 6 입니다.

턴 & 앨리스 위치 ; 0 & 12 ; 1 & 12 + 5 = 5 ; 2 & 5 + 5 = 10 ; 3 & 10 + 5 = 15 → 3 ; 4 & 3 + 5 = 8 ; 5 & 8 + 5 = 13 → 1 ; 6 & 1 + 5 = 6 ;

3STEP 3

12 에서 매 턴 9 씩 빼면 밥의 위치는 3, 6, 9, 12 가 반복되고, 여섯 번째 턴에 다시 6 이 됩니다.

턴 & 밥 위치 ; 0 & 12 ; 1 & 12 - 9 = 3 ; 2 & 3 - 9 = -6 → 6 ; 3 & 6 - 9 = -3 → 9 ; 4 & 9 - 9 = 0 → 12 ; 5 & 12 - 9 = 3 ; 6 & 3 - 9 = -6 → 6 ;

4STEP 4

두 열을 턴별로 나란히 놓고 비교하면, 처음 일치하는 줄은 여섯 번째 턴이고 둘 다 6 번 점에 있습니다.

턴 & 앨리스 & 밥 & 같은가? ; 1 & 5 & 3 & 아니오 ; 2 & 10 & 6 & 아니오 ; 3 & 3 & 9 & 아니오 ; 4 & 8 & 12 & 아니오 ; 5 & 1 & 3 & 아니오 ; 6 & 6 & 6 & 예 ;

5STEP 5

따라서 두 사람이 처음으로 같은 점에 있는 것은 여섯 번째 턴이고, 답은 (A) 입니다.

k = 6 → (A)

정답

만나는 점을 다시 확인해 봅시다. 6 턴 뒤 앨리스가 시계 방향으로 움직인 칸 수는 5 × 6 = 30. 12 점 원에서 30 = 2 × 12 + 6 이므로 출발점 12 에서 시계 방향으로 6 칸 — 즉 6 번 점. 밥이 반시계 방향으로 움직인 칸 수는 9 × 6 = 54. 54 = 4 × 12 + 6 이므로 12 에서 반시계 방향으로 6 칸 — 11, 10, 9, 8, 7, 6 으로 세어 역시 6 번 점. 두 사람 모두 6 번에서 만나므로 턴 6, 답 (A) 가 맞습니다. 1 부터 5 까지 어느 줄에서도 일치가 없었으니 6 이 정말 처음입니다.

💡핵심 정리

"원 위에서 언제 만날까?" 라는 문제는 두 사람의 위치를 나란히 적은 표 하나로 대부분 풀려요 — 여기서도 단 6 줄만 적으면 앨리스와 밥이 함께 6 번 점에 도착하는 게 바로 보입니다.

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