AMC 8 · 1999 · #5

학년 4 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

perimeterarea-rectanglesmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesperimetermulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

60 피트 × 20 피트 직사각형 정원이 울타리로 둘러싸여 있습니다. 같은 울타리를 다시 사용해 정사각형 정원을 만들면, 정사각형 정원은 원래 직사각형 정원보다 넓이가 몇 제곱피트 더 커질까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

200

(C)

300

(D)

400

(E)

500

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 나누기

한 문장 안에 작은 작업 세 개가 숨어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 순서를 잡습니다: (i) 직사각형의 둘레와 넓이를 구하고, (ii) 같은 둘레를 정사각형에 옮겨 한 변과 넓이를 구하고, (iii) 둘을 빼서 늘어난 넓이를 얻습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. 60 × 20 직사각형 옆에 정사각형을 같이 그려 보면, "같은 울타리" 가 두 도형을 잇는 다리는 "같은 둘레" 하나뿐임이 한눈에 보입니다.

1STEP 1

작은 문제 1: 직사각형 둘레가 곧 다시 쓸 울타리 길이 160 ft, 넓이는 1200 ft².

P = 2(60 + 20) = 2 × 80 = 160 ft, A_직 = 60 × 20 = 1200 ft²

2STEP 2

작은 문제 2: 같은 160 ft 울타리로 만든 정사각형은 한 변 40 ft, 넓이는 1600 ft².

s =

\frac{160}{4}

= 40 ft, A_정 = 40 × 40 = 1600 ft²

3STEP 3

작은 문제 3: 새 넓이에서 원래 넓이를 빼면 늘어난 넓이는 400 ft².

1600 - 1200 = 400 ft² → (D)

정답

400

빠른 확인: 2(60+20) = 160 이고 4 × 40 = 160 이라 같은 울타리로 두 정원 모두 둘러쌀 수 있음이 맞습니다. 직사각형은 길고 좁고(60 × 20) 정사각형은 균형이 잡혀 있는데(40 × 40), 둘레가 같을 때 넓이가 가장 큰 도형은 항상 정사각형이므로 넓이는 반드시 늘어나야 합니다 — 답 (D) 와 자연스럽게 맞습니다. 수치로도 1600 - 1200 = 400. 다른 선택지는 간단한 확인에서 걸러집니다. 만약 늘어난 넓이가 100 이나 200 이라면 정사각형 넓이가 40² = 1600 보다 훨씬 작아야 하는데 그렇지 않으니까요.

💡핵심 정리

울타리가 같으면 둘레도 같고, 둘레가 같을 때는 길고 좁은 직사각형보다 정사각형이 더 넓은 넓이를 차지해요 — 둘레, 한 변, 빼기의 3-4학년 단계 세 번이면 이 AMC 8 문제는 가볍게 끝납니다.

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