AMC 8 · 2000 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-trianglesperimeterpythagorean-theorem coordinate-geometryidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

1 단위 간격으로 점이 박힌 지오보드 위에 두 사각형이 그려져 있습니다. 사각형 I 의 꼭짓점은 (0,3), (0,4), (1,3), (1,2) 이고, 사각형 II 의 꼭짓점은 (2,1), (4,2), (3,1), (3,0) 입니다. 두 사각형의 넓이와 둘레에 대한 다섯 개의 진술 중 어느 것이 옳은지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

The area of quadrilateral I is more than the area of quadrilateral II.

(B)

The area of quadrilateral I is less than the area of quadrilateral II.

(C)

The quadrilaterals have the same area and the same perimeter.

(D)

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of I is more than the perimeter of II.

(E)

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of I is less than the perimeter of II.

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제 자체가 단위 격자 위 그림으로 주어지므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 첫걸음입니다. 모눈종이에 두 사각형을 다시 그리면 각 변의 길이와 도형이 어떻게 분해되는지 한눈에 보입니다. 각 진술은 "넓이"와 "둘레" 두 질문을 묶어 놓았으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 먼저 넓이를 비교하고 그다음 둘레를 비교하는 순서로 일을 나눕니다. 도구 #3(가능성 줄이기)은 AMC 객관식의 마무리에 쓰입니다 — 넓이가 같다는 사실 하나로 (A) 와 (B) 가 사라지고, 남은 일은 둘레의 방향뿐입니다.

1STEP 1

도형 I 을 다시 그리면 두 변은 수직 단위 선분, 두 변은 단위 정사각형 대각선 — 변은 1, √(2), 1, √(2).

I 의 변: 1, √(2), 1, √(2)

2STEP 2

도형 I 을 넓이 2 인 1×2 직사각형으로 둘러싸고 모서리 삼각형 둘(각 $\frac{1}{2}$ )을 빼면 넓이는 1.

넓이(I) = 1 · 2 - 2 ·

\frac{1}{2}

· 1 · 1 = 1

3STEP 3

도형 II 도 넓이 4 인 2×2 직사각형으로 둘러싸고 모서리 삼각형(1+ $\frac{1}{2}$ +1+ $\frac{1}{2}$ =3)을 빼면 넓이는 1.

넓이(II) = 2 · 2 - 3 = 1

4STEP 4

두 넓이가 모두 1 이므로 한쪽이 더 크다는 진술은 거짓 — (A)와 (B)를 제거합니다.

넓이(I) = 넓이(II) = 1 → (A), (B) 제거

5STEP 5

도형 I 의 변 1 + √(2) + 1 + √(2) 을 더하면 둘레는 2 + 2√(2).

P(I) = 1 + √(2) + 1 + √(2) = 2 + 2√(2)

6STEP 6

II 의 각 변에 거리 공식을 적용하면 √(5), √(2), 1, √(2) — 둘레는 1 + 2√(2) + √(5).

P(II) = √(5) + √(2) + 1 + √(2) = 1 + 2√(2) + √(5)

7STEP 7

빼면 2√(2) 항이 상쇄되어 1+√(5) 와 2 비교만 남고, √(5)＞1 이므로 P(II) ＞ P(I) — (E)와 일치.

P(II) - P(I) = (1+√(5)) - 2 = √(5) - 1 ＞ 0 → (E)

정답

The quadrilaterals have the same area, but the perimeter of I is less than the perimeter of II.

넓이는 픽의 정리 A = I +

\frac{B}{2}

- 1 로 교차 확인합니다(I 는 내부 격자점, B 는 경계 격자점). 사각형 I 은 각 변의 x, y 변화량 gcd 가 모두 1 이므로 B = 4, 내부 점은 없으므로 A = 0 +

\frac{4}{2}

- 1 = 1. 사각형 II 도 긴 변 (2,1)–(4,2) 의 gcd(2,1) = 1 이고 나머지 세 변도 gcd = 1 이므로 B = 4, 내부 점도 없어 A = 0 +

\frac{4}{2}

- 1 = 1. 둘 다 일치. 둘레 비교도 수치 어림으로 확인됩니다: 2√(2) ≈ 2.83 이므로 P(I) ≈ 4.83, √(5) ≈ 2.24 이므로 P(II) ≈ 6.07 — 분명히 더 크고, (E)와 일치합니다.

💡핵심 정리

두 도형이 같은 넓이를 갖더라도 둘레는 크게 다를 수 있습니다. 각 도형을 직사각형으로 둘러싸 넓이가 모두 1 임을 확인한 뒤, 피타고라스로 기울어진 변을 재면 — 도형 II 의 긴 변 √(5) 가 둘레를 더 길게 만들어 답 (E) 가 나옵니다.

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