AMC 8 · 2000 · #22

학년 7 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

surface-areaspatial-visualizationpercentagearea-rectangles area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: surface-areapercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

모서리 길이가 2 인 정육면체의 윗면에, 모서리 길이가 1 인 작은 정육면체의 한 면이 통째로 닿도록 작은 정육면체를 올려 붙입니다. 새로운 입체의 총 겉넓이(위·아래·옆면 전부)와 원래 정육면체의 겉넓이를 비교했을 때, 겉넓이의 증가율(%)에 가장 가까운 값을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

울퉁불퉁해진 새 입체의 모든 면을 다시 세는 건 느리고 실수도 많아요. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집습니다 — 전체를 다시 세지 말고, 맞붙은 자리에서 "무엇이 새로 보이고 무엇이 가려졌는지"만 따집니다. 작은 정육면체를 올려 붙이면 큰 정육면체 윗면의 1 × 1 부분이 겉에서 사라지고(작은 정육면체의 밑면도 같은 자리에서 가려지므로 겉면에서 "제거되는 면"은 그 한 장), 대신 작은 정육면체의 윗면과 옆 네 면, 총 5 개의 1 × 1 면이 새로 겉면이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 맞붙은 자리와 새로 드러나는 면들이 한눈에 들어옵니다. 순 변화는 +5 - 1 = +4, 이후 비율 계산 한 번이면 끝납니다.

1STEP 1

큰 정육면체는 넓이 2² = 4 인 합동 면 6 장이라, 겉넓이는 6 × 4 = 24.

원래 = 6 × 2² = 24 제곱 단위

2STEP 2

맞붙은 자리에서 큰 정육면체 윗면의 1 × 1 한 장이 가려지고, 작은 정육면체의 윗면과 옆 네 면 다섯 장이 새로 드러납니다.

겉면에서 빠지는 부분 = 1 (큰 정육면체 윗면의 1 × 1 패치) 겉면에 새로 추가되는 부분 = 5 × 1 = 5 (작은 정육면체의 위면 + 옆면 4장)

3STEP 3

더한 면적과 뺀 면적을 합치면 +5 - 1 = +4 제곱 단위.

Δ 겉넓이 = +5 - 1 = +4 제곱 단위

4STEP 4

증가율은 변화량을 원래 값으로 나눈 값: $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 16.67%.

Δ/원래 × 100% =

\frac{4}{24}

× 100% =

\frac{1}{6}

× 100% ≈ 16.67%

5STEP 5

16.67% 는 15% 와 17% 사이지만 17% 에 훨씬 가까워 (C) 입니다.

|16.67 - 17| = 0.33 ＜ |16.67 - 15| = 1.67 → 17% → (C)

정답

원리대로 다시 한 번 확인합니다. 새 겉넓이 = 24 + 4 = 28, 증가량은 28 - 24 = 4, 증가율은 4 ÷ 24 = 0.16 = 16.6%. 관점 바꾸기로 얻은 값과 일치하고, 보기 중에서는 (C) 17 이 가장 가깝습니다. 선택지 자체로도 한 번 더 점검: 10% 라면 증가량이 2.4 가 되어야 하는데(맞붙은 자리에서 사라지고 추가되는 면적은 정수 단위라 불가능), 25% 라면 증가량이 6 이어야 하는데 작은 정육면체가 새로 노출할 수 있는 면적은 5 가 최대라 또 불가능. 결국 (C) 만이 기하학적으로 성립합니다.

💡핵심 정리

새 입체를 통째로 다시 세지 마세요. 1 × 1 × 1 정육면체를 올려 붙이면 1 × 1 패치 한 장이 가려지고 1 × 1 면 다섯 장이 새로 드러나니, 겉넓이는 4 만큼 늘어납니다. $\frac{4}{24}$ ≈ 16.7%, 반올림하면 17% — 답은 (C).

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