AMC 8 · 2000 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-trianglesspatial-visualizationreflection-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 모두 5 인 세 개의 호로 둘러싸인 영역이 있습니다. 호 AB 와 AD 는 아래 두 모서리에서 안쪽으로 들어간 사분원이고, 호 BCD 는 위쪽으로 볼록한 반원입니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$10+5\pi$

(C)

(D)

$50+5\pi$

(E)

$25\pi$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

겉모습은 구불구불하지만, asy 좌표를 보면 가운데에 깔끔한 직사각형이 숨어 있습니다. B=(-5,5) 와 D=(5,5) 는 A=(0,0) 바로 위에 있죠. 도구 #1(그림 그리기)로 선분 BD 를 그어 영역을 둘로 나눕니다. BD 위는 지름이 BD 인 반원, 아래는 10 × 5 직사각형의 두 아래 모서리에서 사분원만큼 파인 모양입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 세 개의 익숙한 도형(직사각형·반원·사분원)의 넓이만 계산하면 끝. 핵심은: 위에 붙은 반원의 넓이가 아래에서 파인 사분원 두 개의 합과 정확히 같습니다( $\frac{25π}{2}$ = 2 · $\frac{25π}{4}$ ). π 항이 서로 상쇄되어 직사각형 넓이만 남습니다.

1STEP 1

선분 BD 를 긋습니다. B=(-5,5), D=(5,5) 라서 가로 길이 10, 영역이 위·아래 두 조각으로 나뉩니다.

BD = 5 - (-5) = 10

2STEP 2

윗부분: 호 BCD 는 지름 10, 반지름 5 인 반원이라 넓이는 25π/2.

A_윗 =

\frac{1}{2}

π(5)² =

\frac{25π}{2}

3STEP 3

아랫부분: 10×5 직사각형(넓이 50)에서 두 아래 모서리마다 반지름 5 사분원을 파내, 넓이는 50 - 25π/2.

A_아랫 = 10 × 5 - 2 ·

\frac{1}{4}

π(5)² = 50 -

\frac{25π}{2}

4STEP 4

더하면: 위의 + $\frac{25π}{2}$ 와 아래의 - $\frac{25π}{2}$ 가 상쇄되어 직사각형만 남고, 넓이는 50.

A_전체 =

\frac{25π}{2}

+ (50 -

\frac{25π}{2}

) = 50 → (C)

정답

아래에서 파낸 사분원 두 개를 합치면 반지름 5 짜리 반원이 되고, 이는 위에 붙은 반원과 똑같은 모양입니다. 파인 조각을 하나씩 들어 위 반원의 짝맞는 자리에 끼우면, 곡선 영역이 정확히 10 × 5 직사각형으로 재배열됩니다 — 넓이 50. 이로써 (A) 25 는 너무 작고(직사각형만 해도 50), (E) 25π ≈ 78.5 는 너무 큽니다(10 × 10 외접 정사각형 넓이 100 안에 들어가지만 그보다는 분명 작음). (B), (D) 는 π 항이 남아 있어야 가능한 답이므로 제외. 깔끔한 정수 50 이 (C) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

선분 BD 로 자르면 위에 붙은 반원의 넓이가 아래 직사각형에서 파인 두 사분원의 합과 같습니다. π 항은 깔끔하게 상쇄되고, 답은 직사각형 넓이 10 × 5 = 50 뿐입니다.

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