AMC 8 · 2000 · #24

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

angle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 점 A, G, F 가 삼각형을 이루고 ∠ A = 20°, 두 밑각이 같습니다 (∠ AFG = ∠ AGF). F 를 지나는 다른 선들이 또 하나의 삼각형 BFD 를 만듭니다. ∠ B + ∠ D 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$48^\circ$

(B)

$60^\circ$

(C)

$72^\circ$

(D)

$80^\circ$

(E)

$90^\circ$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림은 복잡해 보이지만 필요한 정보는 두 개의 삼각형 안에만 있습니다. 위쪽 삼각형 AGF (∠ A = 20° 와 두 밑각이 같다는 조건이 있는 곳) 와 아래쪽 삼각형 BFD (∠ B 와 ∠ D 가 내각으로 들어 있는 곳) 입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그림을 이 두 삼각형으로 나누고, 두 삼각형은 점 F 를 통해 연결됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 도구입니다 — A 에 20° 를 표시하고, 같은 밑각에 같은 기호를 표시한 뒤, 직선 AFD 를 다리 삼아 위 삼각형의 정보를 아래 삼각형으로 옮깁니다. 대수는 필요 없고, 삼각형 내각 합 규칙을 두 번 쓰는 것이 전부입니다.

1STEP 1

작은 문제 1: 삼각형 AGF 는 180°, 두 밑각이 같아 각 밑각 ∠ AFG = 80°.

20° + x + x = 180° → 2x = 160° → x = 80°, 따라서 ∠ AFG = 80°

2STEP 2

A, F, D 가 한 직선 위라 ∠ AFG 와 ∠ GFD 는 보각: ∠ GFD = 180° - 80° = 100°.

∠ GFD = 180° - ∠ AFG = 180° - 80° = 100°

3STEP 3

G 가 반직선 FB 위에 있어 ∠ BFD 와 ∠ GFD 는 같은 각: ∠ BFD = 100°.

∠ BFD = ∠ GFD = 100°

4STEP 4

작은 문제 2: 삼각형 BFD 의 내각 합으로 ∠ B + ∠ D = 180° - 100° = 80°.

∠ B + ∠ D + ∠ BFD = 180° → ∠ B + ∠ D = 180° - 100° = 80° → (D)

정답

80°

∠ B 와 ∠ D 는 각각 여러 값을 가질 수 있고 (그림이 두 각을 따로 고정하지 않습니다), 그럼에도 문제는 하나의 답을 요구합니다. 이는 곧 "합만" 결정된다는 신호이고, 삼각형 내각 합 규칙이 ∠ BFD 만 알아내면 그 합을 바로 주는 구조죠. 산수도 맞습니다: 삼각형 AGF 에서 20 + 80 + 80 = 180, 직선 AD 에서 80 + 100 = 180, 삼각형 BFD 에서 ∠ B + ∠ D + 100 = 180 이므로 80° — 답 (D). 결과가 양수이고 180° 보다 작은 점도 삼각형 두 각의 합으로 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

복잡해 보이지만 일을 하는 건 두 삼각형뿐 — 위의 AGF 와 아래의 BFD, 그리고 둘이 만나는 점 F. 이등변삼각형이라 ∠ AFG = 80°, 직선을 지나가며 ∠ BFD = 100°, 그러면 삼각형 BFD 의 내각 합 규칙이 ∠ B + ∠ D = 80° 를 강제합니다 — 답 (D).

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