AMC 8 · 2000 · #8

학년 3 arithmeticgeometry-3d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

set-partitionspatial-visualizationmulti-digit-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

면에 1 부터 6 까지 적힌 표준 주사위 3 개가 쌓여 있습니다. 전체 18 개 면 중 7 개가 보이고 11 개는 가려져 있습니다(뒷면, 바닥면, 그리고 주사위 사이에 맞붙은 면). 보이는 면에 적힌 수는 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 입니다. 가려진 11 개 면에 찍힌 점의 총수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

각 주사위가 어느 방향으로 놓였는지는 알 수 없고, 가려진 11 개 면이 무엇인지도 직접 알아낼 수 없어요. 그래서 가려진 면 하나하나를 추적하는 방향은 잘못된 길입니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 쓰입니다 — 주사위 하나의 여섯 면 합은 1+2+3+4+5+6 = 21 로, 어떻게 돌리든 변하지 않으니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 먼저 주사위 한 개를 풀고 그 다음 세 개로 확장하라고 알려 줍니다. 세 주사위의 전체 점수를 알면, 가려진 점은 "전체 - 보이는 점" 뺄셈 하나로 끝납니다.

1STEP 1

주사위 한 개의 여섯 면 합은 21, 어떻게 돌려도 이 값은 변하지 않습니다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

2STEP 2

주사위 세 개면 3 × 21 = 63, 열여덟 면 전체의 점 수입니다.

3 × 21 = 63

3STEP 3

보이는 면 일곱 개 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 의 합은 22 입니다.

1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22

4STEP 4

모든 면은 보이거나 가려지거나이므로 가려진 점 = 63 − 22 = 41.

63 - 22 = 41 → (D)

정답

답의 크기를 확인합니다. 가려진 면은 11 개, 각 면의 수는 1 부터 6 사이이므로 가려진 점 총합은 11 × 1 = 11 과 11 × 6 = 66 사이여야 합니다. 우리의 답 41 은 이 범위 안에 잘 들어갑니다. 가려진 면 한 개당 평균은

\frac{41}{11}

≈ 3.7 로, 주사위 한 면의 평균값

\frac{21}{6}

= 3.5 와 거의 같습니다 — 가려진 면들이 대체로 골고루 섞여 있을 때 기대되는 값과 정확히 맞습니다. 산수도 확인됩니다: 22 + 41 = 63 = 3 × 21.

💡핵심 정리

주사위 한 개의 여섯 면 합은 어떻게 돌려도 21. 주사위 세 개라면 점 총수는 63 이므로, 가려진 점은 63 - 22 = 41 — "변하지 않는 값" 만 보이면 뺄셈 한 번으로 끝납니다.

비슷한 유형 더 풀어보기