AMC 8 · 2004 · #18

학년 3 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

logical-deductionset-partitionsystematic-enumerationcasework caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

다섯 친구 — Alice, Ben, Cindy, Dave, Ellen — 가 점수 1 ~ 10 으로 표시된 표적에 각각 두 번씩 다트를 던집니다. 다트 10 개가 던져지는 동안 1 부터 10 까지의 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞습니다. 각 사람의 점수는 자기가 맞춘 두 영역의 합입니다. 점수는 Alice 16, Ben 4, Cindy 7, Dave 11, Ellen 17 입니다. 6 점 영역을 맞춘 사람은 누구일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Alice

(B)

Ben

(C)

Cindy

(D)

Dave

(E)

Ellen

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 격자 논리표

전형적인 "누가 무엇을 가졌는가?" 퍼즐입니다 — 다섯 명, 영역 열 개, 각 영역은 단 한 번만 사용됩니다. 도구 #4(격자 논리표)가 주도구로 잘 맞아요. 각 사람이 가질 수 있는 영역 쌍을 표로 추적하다가 가능한 쌍이 하나만 남으면 확정합니다. 표를 채우려면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 점수마다 합이 그 점수가 되는 모든 서로 다른 두 수 쌍 {a,b} 를 적습니다. 이후 도구 #3(가능성 지우기)으로, 앞서 확정된 영역을 포함하는 쌍은 모두 지웁니다. 가능한 쌍이 하나뿐인 Ben 부터 시작하면 연쇄적으로 유일한 해가 나옵니다.

1STEP 1

각 점수마다 합이 그 점수가 되는 1 ~ 10 의 두 수 쌍을 모두 적어 후보 격자를 만듭니다.

점수 & 가능한 쌍 ; Ben 4 & {1,3} ; Cindy 7 & {1,6}, {2,5}, {3,4} ; Dave 11 & {1,10}, {2,9}, {3,8}, {4,7}, {5,6} ; Alice 16 & {6,10}, {7,9} ; Ellen 17 & {7,10}, {8,9}

2STEP 2

Ben 의 4 는 쌍이 {1,3} 하나뿐이라 1 과 3 확정; 이 둘이 든 쌍을 모두 지웁니다.

Ben={1,3} → 사용됨={1,3}. Cindy 의 {1,6}, {3,4} 와 Dave 의 {1,10}, {3,8} 을 지웁니다.

3STEP 3

그러면 Cindy 는 {2,5} 만 남아 2 와 5 확정; 그 수가 든 쌍을 지웁니다.

Cindy={2,5} → 사용됨={1,2,3,5}. Dave 의 {2,9}, {5,6} 을 지웁니다.

4STEP 4

쓰인 수를 피하는 건 {4,7} 뿐이라 Dave 는 4 와 7; 남은 영역은 6, 8, 9, 10.

Dave={4,7} → 사용됨={1,2,3,4,5,7}. 남은 영역: {6,8,9,10}.

5STEP 5

{6,8,9,10} 중 6+10=16 은 Alice, 8+9=17 은 Ellen 입니다.

Alice={6,10}, Ellen={8,9}

6STEP 6

6 은 6 과 10 쌍에 들어 있고, 그 주인은 Alice 입니다.

6 ∈ Alice 의 쌍 → (A) Alice

정답

Alice

확정된 배정이 모든 조건을 만족하는지 점검합니다. Ben 1+3=4 ✓, Cindy 2+5=7 ✓, Dave 4+7=11 ✓, Alice 6+10=16 ✓, Ellen 8+9=17 ✓. 사용된 영역은 {1,3,2,5,4,7,6,10,8,9}={1,2,…,10} — 모든 영역이 정확히 한 번씩 ✓. 총합도 1+2+…+10=55 이고 4+7+11+16+17=55 ✓. 다른 선택지는 모두 탈락: Ben 의 쌍 {1,3} 에는 6 이 없고, Cindy 의 {2,5} 에도 없고, Dave 의 {4,7} 에도 없고, Ellen 의 {8,9} 에도 없습니다. 6 을 가진 사람은 Alice 뿐이므로 (A) 로 확정.

💡핵심 정리

단서가 모두 합이고 각 숫자가 한 번씩만 쓰이면, 가능한 쌍이 단 하나뿐인 사람부터 시작하세요 — 그 한 수가 다음을 풀어 주고, 나머지는 도미노처럼 무너집니다.

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