AMC 8 · 2002 · #19

학년 4 countingnumber-theory

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Digit Place Position

digit-constraintsplace-valuesystematic-enumerationpermutations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

99 보다 크고 999 보다 작은 정수 중, 숫자 0 을 정확히 한 번 포함하는 수의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

144

(D)

162

(E)

180

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

백의 자리는 0 이 될 수 없으니, 단 하나의 0 은 십의 자리 또는 일의 자리에 있어야 합니다. 이 관찰만으로 문제가 두 개의 깔끔한 작은 문제로 갈라집니다 (도구 #7) — "0 이 십의 자리" 와 "0 이 일의 자리." 각 작은 문제는 자리별 선택지 개수만 세는 짧은 계산이라 체계적인 나열 (도구 #2) 에 딱 맞습니다. 두 경우는 0 의 위치가 달라 겹치지 않으므로 마지막에 그냥 더하면 됩니다.

1STEP 1

맨 앞 h 는 0 일 수 없어, 유일한 0 은 십의 자리 (h 0 u) 나 일의 자리 (h t 0) 두 경우로 갈립니다.

전체 = #{h 0 u} + #{h t 0}

2STEP 2

경우 T (h 0 u): h 는 9 가지, 십의 자리는 0 고정, u 는 0 이면 안 되어 9 가지 → 81.

#{h 0 u} = 9 × 1 × 9 = 81

3STEP 3

경우 U (h t 0) 는 대칭: h 는 9 가지, t 는 0 이면 안 되어 9 가지, 일의 자리는 0 고정 → 81.

#{h t 0} = 9 × 9 × 1 = 81

4STEP 4

두 경우는 같은 수를 가리키지 않으니 그냥 더한다: 81 + 81 = 162.

81 + 81 = 162 → (D)

정답

162

답의 크기 감각을 확인합니다. 전체 세 자리 수는 9 × 10 × 10 = 900 개. 그중 약

\frac{1}{5}

(

\frac{162}{900}

= 0.18) 가 0 을 정확히 한 번만 포함한다는 결과는 자연스럽습니다 — 십·일의 자리에서 0 부터 9 까지 어느 숫자나 똑같이 나올 수 있으니, 한 번만 0 인 수는 의미 있지만 작은 비중을 차지해야 하니까요. 또한 162 = 2 × 81 은 "두 경우가 대칭" 이라는 풀이 구조와도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

단 하나의 0 이 들어갈 자리는 둘 (십·일) 뿐이고, 각 자리마다 9 × 9 = 81 개의 수가 나옵니다 — 그래서 답은 81 + 81 = 162.

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