AMC 8 · 2003 · #13

학년 4 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationface-adjacencysystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualizationsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

흰색 단위정육면체 14 개를 붙여 한 입체를 만듭니다. 이 입체의 바깥쪽 표면 전체(바닥 포함)를 빨간색으로 칠합니다. 그 다음 입체를 다시 14 개의 정육면체로 분리합니다. 그중 빨간 면이 정확히 4 개인 정육면체는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져 보기

14 개의 정육면체가 만드는 3차원 배치라서 도구 #10(직접 만져 보기)이 가장 효과적입니다 — 실제 블록을 쌓거나(또는 바닥 평면도 + 윗층을 따로 그리기) 각 정육면체의 어떤 면이 이웃과 맞닿는지 한눈에 보세요. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 정리 짝꿍입니다: 14 개의 정육면체를 위치 유형(바닥 모서리, 바닥 변의 중간, 윗층 모서리)으로 묶고, 한 종류당 한 개의 이웃 수만 세어 "빨간 면 = 6 - 이웃 수" 규칙을 적용합니다. 세 그룹, 세 번의 뺄셈, 그리고 빨간 면이 4 개인 그룹의 인원을 합치면 끝.

1STEP 1

입체를 쌓아 봅니다: 텅 빈 직사각형 고리 10 개 + 네 모서리에 1 개씩 — 10 + 4 = 14 개, 문제와 일치.

10 (바닥 고리) + 4 (모서리 윗층) = 14

2STEP 2

핵심 규칙: 빨간 면 = 6 - 이웃 수. 바닥도 칠하므로 붙은 면만 가려지고, 땅에 닿아 가려지는 면은 없습니다.

빨간 면 = 6 - 이웃 수

3STEP 3

14 개를 자리별로 분류: 바닥 모서리 이웃 3, 바닥 변 중간 이웃 2, 윗층 모서리 이웃 1 — 4 + 6 + 4 = 14.

4 + 6 + 4 = 14 ✓

4STEP 4

6 - 이웃 수 적용: 유형 A는 3, B는 4, C는 5. 정확히 빨간 면 4 개인 것은 유형 B 뿐, 그런 정육면체는 6 개.

유형 A: 6-3=3, 유형 B: 6-2=4, 유형 C: 6-1=5 → (B) 6

정답

총 빨간 면 수를 두 방식으로 비교해 확인합니다. 유형 A 의 기여는 4 × 3 = 12, 유형 B 는 6 × 4 = 24, 유형 C 는 4 × 5 = 20, 합 12 + 24 + 20 = 56. 반대로 칠해진 입체의 바깥 표면을 직접 세면 — 3 × 4 = 12 인 바닥, 고리 윗면(가운데 1 × 2 구멍과 모서리 네 자리가 위에 쌓인 정육면체에 가려진 부분 제외), 네 모서리 윗층의 윗면 4 개, 그리고 고리 바깥/안쪽 옆면 띠와 윗층 정육면체 네 옆면 — 모두 더하면 똑같이 56 개가 나와 이웃 수 계산이 옳음을 확인합니다. 또 답 6 은 선택지의 가운데 값으로, AMC 8 에서 흔히 옳을 위치에 있어 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이웃과 맞닿은 면은 흰색 그대로니까 빨간 면 = 6 - 이웃 수. 14 개의 정육면체를 자리 유형(바닥 모서리, 바닥 변 중간, 윗층 모서리)으로 나누면, 빨간 면이 정확히 4 개인 것은 고리 네 변 가운데에 있는 6 개입니다.

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