경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2003 · #24

학년 8 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

graph-readingspatial-visualizationpattern-recognitionpythagorean-theorem identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: graph-readingspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

배가 X 섬을 중심으로 하는 반원을 따라 A 에서 B 까지 간 뒤, B 에서 C 까지 직선으로 갑니다. 전체 여정 동안 X 로부터의 거리를 가장 잘 나타내는 그래프를 고르세요. 그림에서 X 는 반원의 중심이고 C 는 X 바로 위에서 반지름이 끝나는 점이므로 XB = XC, 각 BXC = 90° 입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Graph with an irregular/incorrect distance pattern

(B)

Horizontal segment at radius r, then a smooth symmetric curve dipping below r and returning to r

(C)

Horizontal segment at radius r, then a V-shape (two straight lines) dipping to a minimum and returning to r

(D)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

(E)

Graph starting with a non-horizontal initial segment (incorrect first leg)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

위치, 경로, 그래프가 등장하는 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 먼저 떠올라야 합니다. X 를 원점에 두면 "섬으로부터의 거리"가 곧 "원점으로부터의 거리"가 되어 측정할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 구간 A → B 와 B → C 를 따로 분석하라고 알려줍니다 — 두 구간이 따르는 규칙(원 vs. 직선)이 완전히 다르기 때문이죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 두 번째 구간에서 복잡한 식 대신 시작·중간·끝, 단 세 점만 확인하게 해주는데, 이것만으로도 그래프의 모양이 충분히 정해집니다.

1STEP 1

좌표 정하기

X 를 원점에 두면 B = (r, 0), C = (0, r) 이므로 'X 까지의 거리'는 '원점까지의 거리'와 같습니다.

X=(0,0), A=(-r,0), B=(r,0), C=(0,r)

2STEP 2

첫 구간 거리 살피기

구간 1 (A → B): X 를 중심으로 하는 원 위의 모든 점은 X 에서 같은 거리이므로, 거리는 내내 r 로 일정합니다.

A → B 동안 X 까지의 거리 = r

3STEP 3

첫 구간 평평하게 그리기

그래프에서 구간 1은 높이 r 의 수평 직선 — 시작이 수평이 아닌 선택지는 모두 탈락.

구간 1 그래프 조각: 높이 r 의 수평 직선

4STEP 4

둘째 구간에서 세 점 잡기

구간 2 (B → C): 세 점만 봅니다 — 시작 B, 중점 M = ( $\frac{r}{2}$ , $\frac{r}{2}$ ), 끝 C. 이것이 '더 쉬운 문제'.

M = (r/2, r/2)

5STEP 5

세 거리 계산하기

피타고라스 정리로: 양 끝은 X 에서 r, 중점은 더 가까운 XM ≈ 0.71 r.

XB = r, XM = √((r/2)² + (r/2)²) = r/√(2) ≈ 0.71 r, XC = r

6STEP 6

둘째 구간 골짜기 모양 잡기

따라서 구간 2는 r 에서 약 0.71 r 로 내려갔다 돌아오는 부드러운 대칭 곡선 — 직선 V자가 아닙니다.

구간 2 그래프 조각: r → r/√(2) → r 로 부드럽게 패인 U자 모양

8학년: 그래프의 V자는 "선형으로 변하다가 갑자기 꺾임"을 뜻합니다. 고정점에서 움직이는 직선 위의 점까지의 거리는 선형이 아니므로 곡선이 됩니다.

B에서 C로 가는 직선 구간에서 배와 X 사이의 거리는 반지름에서 시작해 중간에서 가장 낮은 점까지 내려갔다가 다시 반지름으로 올라오며, 뾰족한 V자가 아니라 매끄럽게 휜 골짜기 모양을 그린다.

▸ 왜?

이 구간의 양 끝점 B와 C는 여전히 X를 중심으로 하는 원 위에 있어 각각 정확히 반지름만큼 떨어져 있다; 그래서 이 골짜기는 평평했던 부분이 끝난 바로 그 높이에서 시작하고 끝날 수밖에 없다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

그 사이에서 직선 구간 BC는 원의 안쪽을 가로지르는 현이므로, B와 C를 뺀 그 위의 모든 점은 반지름보다 X에 더 가깝다 — 그래서 높이가 출발점 아래로 내려간다.

▸ 왜?

원은 X에서 반지름만큼 떨어진 점들이 이루는 테두리 그 자체이므로, 현의 안쪽처럼 그 테두리 안에 놓인 점은 반지름보다 가까울 수밖에 없다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

뾰족한 V자라면 거리가 일정한 비율로 줄었다가 늘며 바닥에서 날카로운 모서리를 이룬다는 뜻이지만, X에서 움직이는 배까지의 거리는 옆으로 벌어진 간격의 제곱과 위로 벌어진 간격의 제곱을 더한 값의 제곱근이라서, 그 제곱근은 모서리를 만들지 않고 가장 낮은 점을 지나며 부드럽게 휜다.

▸ 왜?

X를 원점에 두면 배의 옆으로 벌어진 간격과 위로 벌어진 간격은 X로 돌아가는 직선을 빗변으로 하는 직각삼각형의 두 변이므로, 그 거리는 √((옆으로 벌어진 간격)² + (위로 벌어진 간격)²)이다; 배가 직선을 따라 미끄러지면 이 값이 내려갔다 올라오므로 그래프는 한 점에서 만나는 두 직선이 아니라 곡선이 된다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

8.F.B.5Identify Subproblems

7STEP 7

두 조각 이어 그래프 고르기

이어 붙이면: 높이 r 수평 구간 + r 로 돌아오는 부드러운 대칭 곡선. 이 모양의 선택지는 (B) 뿐.

답 = (B)

정답

반지름 r에서 수평 구간, 이어서 r 아래로 매끈하게 내려갔다가 r로 돌아오는 대칭 곡선

여정의 처음과 끝, 그리고 반원 전체가 모두 반지름 r 인 점에 대한 답이어야 하고, 그래프 (B)가 그 조건을 만족합니다. 구간 2의 최소 거리

\frac{r}{\sqrt{2}}

≈ 0.71 r 는 r 보다 작지만 여전히 양수이므로 "부드럽게 패인 곡선"이 자연스럽습니다. 만약 (C)의 V자라면 직선 위의 점에서 원점까지의 거리가 일정한 비율로 줄었다가 늘어난다는 뜻인데, 이는 사실이 아닙니다.

💡핵심 정리

어떤 점을 중심으로 원을 돌고 있을 때는 그 점까지의 거리가 변할 수 없고, 직선으로 가로지를 때는 거리가 항상 매끄러운 곡선으로 바뀝니다 — 절대 뾰족한 V자가 되지 않아요. 두 모양만 떠올리면 이 AMC 8 문제는 8학년 그래프 읽기로 풀립니다.

좌표 정하기
첫 구간 거리 살피기
첫 구간 평평하게 그리기
둘째 구간에서 세 점 잡기
세 거리 계산하기
둘째 구간 골짜기 모양 잡기
두 조각 이어 그래프 고르기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

좌표 정하기

첫 구간 거리 살피기

첫 구간 평평하게 그리기

둘째 구간에서 세 점 잡기

세 거리 계산하기

둘째 구간 골짜기 모양 잡기

두 조각 이어 그래프 고르기

비슷한 유형 더 풀어보기