AMC 8 · 2004 · #14

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-trianglesspatial-visualization coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

10 × 10 지오보드 위에서 못 (4,0), (0,5), (3,4), (10,10) 을 순서대로 이어 사각형을 그립니다. 이 사각형이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$18\frac12$

(C)

$22\frac12$

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도형이 좌표로 주어졌으니 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 네 못을 찍어 보면 V₃ 에서 안쪽으로 꺾이는 오목 사각형임이 보입니다. 오목 다각형을 한 덩어리로 다루기는 까다로우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 대각선 V₁V₃ 을 따라 두 개의 평범한 삼각형으로 나눕니다. 각 삼각형의 꼭짓점이 모두 정수 좌표이므로, 마무리는 도구 #13(대수 활용) — 좌표 넓이 공식을 적용합니다. 두 삼각형의 넓이를 더하면 전체 넓이입니다.

1STEP 1

네 못을 순서대로 찍어 이으면 V₃ 에서 안쪽으로 꺾여 볼록이 아닌 오목 사각형입니다.

V₁=(4,0), V₂=(0,5), V₃=(3,4), V₄=(10,10)

2STEP 2

대각선 V₁V₃ 은 오목한 도형 안에 머물러 삼각형 A = V₁V₂V₃ 와 B = V₁V₃V₄ 로 나눕니다; 전체 넓이 = A + B.

넓이(V₁V₂V₃V₄) = 넓이(A) + 넓이(B)

3STEP 3

삼각형 A 의 꼭짓점 (4,0), (0,5), (3,4) 를 좌표 넓이 공식에 대입하면 $\frac{11}{2}$ .

넓이(A) =

\frac{1}{2}

| 4(5-4) + 0(4-0) + 3(0-5) | =

\frac{1}{2}

|4 + 0 - 15| =

\frac{11}{2}

4STEP 4

삼각형 B 의 꼭짓점 (4,0), (3,4), (10,10) 도 같은 공식에 대입하면 17.

넓이(B) =

\frac{1}{2}

| 4(4-10) + 3(10-0) + 10(0-4) | =

\frac{1}{2}

|-24 + 30 - 40| =

\frac{34}{2}

= 17

5STEP 5

두 삼각형 넓이를 더하면 $\frac{11}{2}$ + 17 = $\frac{221}{2}$ , 정답 (C).

전체 =

\frac{11}{2}

+ 17 =

\frac{11}{2}

\frac{34}{2}

\frac{45}{2}

\frac{221}{2}

→ (C)

정답

\frac{221}{2}

사각형 전체에 픽의 정리(Pick's theorem)를 적용해 교차 검증합니다. 변에서 경계 격자점을 세면 V₁V₂ 는 gcd(4,5)=1, V₂V₃ 는 gcd(3,1)=1, V₃V₄ 는 gcd(7,6)=1, V₄V₁ 은 gcd(6,10)=2 이므로 V₄V₁ 위에 내부 격자점 한 개 — 중점 (7,5) — 가 추가됩니다. 따라서 B=4+1=5. 오목 영역 내부의 못 개수를 그림으로 세면 I=21. 픽의 정리: 넓이 = I +

\frac{B}{2}

- 1 = 21 + 2.5 - 1 = 22.5. (C) 와 정확히 일치합니다. 또한 지오보드 다각형의 넓이는 항상

\frac{1}{2}

의 배수이므로 반정수가 아닌 답은 자동으로 배제됩니다.

💡핵심 정리

좌표 도형이 이상하거나 움푹 들어 보이면 먼저 그림을 그리고 대각선으로 쪼개세요. 깔끔한 두 삼각형은 오목 사각형 하나보다 항상 다루기 쉽고, 넓이 공식은 각 조각을 따로따로 처리해 줍니다.

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