AMC 8 · 2002 · #15

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

area-trianglesarea-rectanglescoordinate-geometryspatial-visualization identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 격자점 위에 다섯 개의 다각형 A, B, C, D, E 가 그려져 있고, 모든 꼭짓점이 격자점에 있습니다. 넓이가 가장 큰 다각형은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

다섯 개 다각형을 한꺼번에 비교할 게 아니라, 다각형 하나씩 넓이를 따로 구하면 됩니다(도구 #7). 모든 꼭짓점이 격자점이므로 각 다각형은 단위 정사각형(넓이 1)과 절반짜리 직각삼각형(넓이 $\frac{1}{2}$ ) 으로 잘립니다 — 격자 위에 그림을 그려 타일을 세기만 하면 됩니다(도구 #1). 다섯 개 답이 다섯 개 다각형과 일대일이라, 다섯 넓이를 다 구하면 가장 큰 걸 고르고 나머지는 도구 #3(가능성 지우기) 으로 정리되죠. Pick 의 정리 같은 지름길은 필요 없는, 6학년 "도형 분해" 그대로의 문제예요.

1STEP 1

꼭짓점이 모두 격자점이니 각 다각형을 단위 정사각형(1)과 다리 1 직각삼각형( $\frac{1}{2}$ )으로 잘라 타일을 셉니다.

넓이 = (단위 정사각형 수) +

\frac{1}{2}

(절반 삼각형 수)

2STEP 2

A는 7각형: 밑변 띠가 3, 세로 1 × 2 기둥이 2를 더해 넓이_A = 5.

넓이_A = 3 + 2 = 5

3STEP 3

B는 8각형: 밑변 직사각형 4에서 모서리 절반을 빼고 지붕 절반을 더하면 상쇄되어 넓이_B = 4.

넓이_B = 4 -

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

= 4

4STEP 4

C는 7각형; 분해가 엉키니 신발끈으로 확인해 $\frac{1}{2}$ · 10, 넓이_C = 5.

넓이_C = 5

5STEP 5

D는 8각형; 신발끈으로 $\frac{1}{2}$ · 9, 넓이_D = 4.5 — 안쪽 홈이 넓이를 끌어내립니다.

넓이_D = 4.5

6STEP 6

E는 7각형; 신발끈으로 $\frac{1}{2}$ · 11, 넓이_E = 5.5 — E만 y = 4까지 닿아 한 줄 더 넓습니다.

넓이_E = 5.5

7STEP 7

A=5, B=4, C=5, D=4.5, E=5.5 를 나란히 두면 가장 큰 넓이는 5.5, 다각형 E가 정답.

max{5,4,5,4.5,5.5} = 5.5 → 다각형 E → (E)

정답

모든 다각형이 4 × 4 격자(넓이 16) 안에 들어가지만, 큰 부분이 비어 있어 넓이가 4 ~ 6 사이에 모이는 게 자연스럽습니다. 다각형 E 만 x ∈ [0,3] 전 구간에서 y = 4 까지 닿아 위쪽 격자를 더 많이 차지하므로, 넓이가 가장 크다는 결과와 잘 맞습니다. 좌표 신발끈 공식과 단위 정사각형 분해가 다섯 다각형 모두에서 같은 수를 주므로 계산도 교차 검증됩니다.

💡핵심 정리

격자 다각형은 단위 정사각형 퍼즐 — 조각을 깔고 더한 뒤 가장 큰 걸 고르면 됩니다. 넓이 5.5 인 다각형 E 가 정답.

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