경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2006 · #17

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

probability-basicparityfraction-multiplicationsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

제프가 세 개의 스피너 P, Q, R 를 돌려서 나온 세 수를 더합니다. 스피너 P 는 {1, 2, 3}, 스피너 Q 는 {2, 4, 6, 8}, 스피너 R 은 {1, 3, 5, 7, 9, 11} 으로 이루어져 있고, 각 스피너의 영역들은 면적이 같습니다. 합 P + Q + R 이 홀수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

값 자체는 중요하지 않고, 중요한 건 홀짝성뿐입니다. 세 스피너를 살펴보면 두 개는 홀짝성이 절대 변하지 않아요. Q 의 모든 수는 짝수, R 의 모든 수는 홀수. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)가 이 점을 짚어 줍니다. Q 가 항상 짝수, R 이 항상 홀수라면 합의 홀짝성은 단 하나, P 의 홀짝성에 달려 있죠. 도구 #7(작은 문제로 나누기)가 세 스피너 문제를 "P 가 짝수일 확률" 이라는 하나의 작은 문제로 줄여 줍니다.

1STEP 1

회전판 홀짝 적기

각 스피너의 홀짝을 표시하면 Q는 모두 짝수, R은 모두 홀수.

P: {1_홀, 2_짝, 3_홀}, Q: {2, 4, 6, 8} 모두 짝, R: {1, 3, 5, 7, 9, 11} 모두 홀

2STEP 2

홀짝으로 줄이기

Q는 짝, R은 홀을 더하므로 합이 홀수인 건 P가 짝수일 때뿐입니다.

P + Q + R ≡ P + 짝 + 홀 ≡ P + 홀 (mod 2)

홀수를 더하면 홀짝성이 뒤집히고, 짝수를 더하면 그대로입니다. 그러니 짝 하나와 홀 하나를 더하면 P 의 홀짝성이 딱 한 번 뒤집힙니다: P 가 짝이면 합은 홀, P 가 홀이면 합은 짝.

세 스피너에서 나온 수의 합이 홀수가 되는 것은 스피너 P가 짝수에 멈출 때뿐이다.

▸ 왜?

스피너가 어떻게 멈추든 Q는 항상 짝수를 더하고 R은 항상 홀수를 더하므로, P를 뺀 나머지 합은 완전한 짝들에 낱개 하나가 남는 상태 — 즉 홀수로 고정된다.

▸ 왜?

스피너 Q의 모든 눈 — 2, 4, 6, 8 — 은 남는 것 없이 두 개의 같은 묶음으로 나뉘는데, 이것이 바로 어떤 수가 짝수라는 뜻이다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

스피너 R의 어떤 눈 — 1, 3, 5, 7, 9, 11 — 도 두 개의 같은 묶음으로 나뉘지 못하고 항상 낱개 하나가 남는데, 이것이 바로 어떤 수가 홀수라는 뜻이다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

세 양은 어떤 묶음 순서로도 더할 수 있으므로, 먼저 Q와 R을 그 고정된 홀수 부분으로 합친 다음 P가 그 위에 더하는 것으로 전체 합의 짝홀을 읽으면 된다.

▸ 왜?

세 무더기를 어느 둘씩 먼저 묶어 합치든 전체 합은 바뀌지 않으므로, Q와 R을 먼저 정리해도 된다.

덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.

▸ 왜?

짝수인 P는 자신의 낱개 없이 완전한 짝들로만 나뉘어 서 있는 홀수 부분을 그대로 두므로 전체가 홀수로 남고 — 홀수인 P는 자신의 낱개 하나를 가져와 고정된 낱개와 짝을 이루어 그 낱개를 없애므로 전체가 짝수가 된다.

▸ 왜?

P의 짝수 값은 낱개 하나 없이 두 개의 같은 묶음으로 나뉘므로 완전한 짝만 더할 뿐 이미 남아 있는 낱개를 건드리지 않는다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

4.OA.B.4Identify Subproblems

3STEP 3

필요한 확률 구하기

P의 같은 크기 세 영역 중 짝수는 딱 하나, 2뿐입니다.

P(P가 짝수) = 1/3

4STEP 4

곱해서 확인하기

세 독립 확률을 곱하면 (둘은 1) $\frac{1}{3}$ — 보기 (B).

P(합이 홀수) = 1/3 × 1 × 1 = 1/3 → (B)

정답

1/3

P 의 두 경우를 모두 따져 검증합니다. P 가 홀수일 확률은

\frac{2}{3}

— 이때 합은 홀 + 짝 + 홀 = 짝. P 가 짝수일 확률은

\frac{1}{3}

— 이때 합은 짝 + 짝 + 홀 = 홀. 두 경우가 전체를 덮고 확률의 합도

\frac{2}{3}

\frac{1}{3}

= 1로 맞으니, 합이 홀수일 확률은 정확히

\frac{1}{3}

, 답 (B)와 일치합니다.

\frac{1}{3}

이라는 값이 직관적으로도 자연스럽죠: Q 와 R 은 홀짝성이 고정이라 답은 결국 스피너 P 에서 나올 수밖에 없고, P 에서 나올 수 있는 분수는

\frac{1}{3}

과

\frac{2}{3}

뿐입니다.

💡핵심 정리

스피너 Q는 항상 짝수, 스피너 R은 항상 홀수 — 두 홀짝성이 이미 고정되어 있어서 합의 홀짝을 결정하는 건 스피너 P 뿐이에요. 답은 "P가 짝수일 확률" 그대로 $\frac{1}{3}$ .

회전판 홀짝 적기
홀짝으로 줄이기
필요한 확률 구하기
곱해서 확인하기

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회전판 홀짝 적기

홀짝으로 줄이기

필요한 확률 구하기

곱해서 확인하기

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