경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #24

학년 8 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

probability-basicperfect-squaressystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicperfect-squares

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1부터 10까지 번호가 적힌 타일 10 장이 뒤집어져 있습니다. 한 장을 무작위로 뒤집고 주사위를 한 번 굴립니다. (타일 번호) × (주사위 눈)이 완전제곱수가 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{11}{60}$

(D)

$\frac{1}{5}$

(E)

$\frac{7}{30}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 꼼꼼히 세기

유한하고 동등한 표본공간에서 확률은 성공/전체 이므로 결국 "세기" 문제예요 — 도구 #13의 자리입니다. 전체 10 × 6 = 60은 바로 보이지만, 성공 쌍의 개수는 도구 #7로 타일별로 나눠 풀어요: 타일 T 를 고정하고 {1, …, 6} 중 어떤 D 가 T · D 를 완전제곱수로 만드는지 봅니다. T 의 "제곱이 아닌 부분"을 보면 가능한 D 가 한눈에 정해집니다.

1STEP 1

전체 짝 세기

타일 10 가지, 주사위 6 가지이고 서로 독립이라 표본공간은 10 × 6 = 60 개의 동등한 쌍이에요.

전체 쌍의 수 = 10 × 6 = 60

2STEP 2

완전제곱 조건 세우기

T = s · k²로 쓰면 T · D 가 완전제곱수인 건 D 가 같은 제곱이 아닌 부분 s 를 가질 때뿐이에요.

T = s · k², D = s · m² ⟹ T · D = s² · (km)² = (skm)²

8학년 "제곱근 다루기"의 핵심: 두 수의 곱이 완전제곱이려면 두 수의 "제곱이 아닌 부분"이 똑같아야 합니다.

타일 수와 주사위 수의 곱이 완전제곱수가 되는 것은 두 수가 같은 무제곱 부분(square-free part)을 가질 때, 곧 각각에서 가장 큰 완전제곱 인수를 빼낸 나머지가 같을 때뿐이다.

▸ 왜?

두 수가 같은 나머지 s를 숨기고 있다면 각각 s · k², s · m²로 쓸 수 있고, 그 인수들은 (s · k · m) · (s · k · m), 곧 어떤 자연수를 자기 자신과 곱한 꼴로 다시 묶인다.

▸ 왜?

인수 s · k² · s · m²는 순서를 바꿔 두 개의 s, 두 개의 k, 두 개의 m을 나란히 모을 수 있다.

곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.

▸ 왜?

나란히 놓인 인수들은 곱을 바꾸지 않고 (s · k · m) · (s · k · m)로 다시 묶을 수 있다.

곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.

▸ 왜?

자연수가 완전제곱수인 것은 모든 소인수가 짝수 번 나타날 때뿐인데, 곱이 그 상태에 이르려면 두 수가 홀수 번 나타나는 소수들을 똑같이 가져야 한다 — 곧 같은 무제곱 부분을 가져야 한다.

▸ 왜?

모든 자연수는 오직 한 가지 방법으로만 소수의 곱으로 갈라지므로 "한 소수가 몇 번 나타나는가"는 고정된 개수다: 어떤 수를 제곱하면 그 개수들이 모두 두 배(전부 짝수)가 되고, 개수가 모두 짝수인 수는 절반으로 나눠 자연수인 근을 다시 세울 수 있다 — 이것이 바로 완전제곱수라는 뜻이다.

소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.

▸ 왜?

두 수를 곱하면 소인수들이 한데 모이므로, 각 소수의 전체 개수는 첫째 수에서의 개수와 둘째 수에서의 개수를 더한 것이다 — 그리고 그 합은 두 개수의 홀짝이 같을 때에만 짝수가 된다.

곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.

8.EE.A.2Identify Subproblems

3STEP 3

타일 하나씩 확인하기

타일을 하나씩: 각 T 의 제곱이 아닌 부분 s 를 구한 뒤 {1, …, 6} 중 s · m² 꼴인 D 를 모두 적어요.

T & s & 가능한 D ; 1 & 1 & 1, 4 ; 2 & 2 & 2 ; 3 & 3 & 3 ; 4 & 1 & 1, 4 ; 5 & 5 & 5 ; 6 & 6 & 6 ; 7 & 7 & 없음 ; 8 & 2 & 2 ; 9 & 1 & 1, 4 ; 10 & 10 & 없음

4STEP 4

유리한 경우를 전체로 나누기

성공 쌍을 모으면 11 개의 (T, D) 쌍이라 확률은 $\frac{11}{60}$ 이에요.

P = 11/60 → (C)

정답

11/60

몇 쌍만 직접 확인해 봐요: 1 · 4 = 4 = 2² (성공), 8 · 2 = 16 = 4² (성공), 9 · 4 = 36 = 6² (성공). 타일 7과 10의 제곱이 아닌 부분은 각각 7, 10으로 6 보다 크니까 어떤 주사위 눈도 못 막아요 — 표의 "없음" 칸과 일치합니다. 또

\frac{11}{60}

≈ 0.183 이므로 선택지 (B)

\frac{1}{6}

≈ 0.167과 (D)

\frac{1}{5}

= 0.20 사이예요. 정확히 11 개를 표현하는 분수는 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

어림하지 말고 빠짐없이 세요. 타일을 하나씩 잡고 주사위 눈 중 어떤 것이 곱을 완전제곱수로 만드는지 확인해 표시합니다. 60 개 쌍 중 성공 11 개라서 $\frac{11}{60}$ 이에요.

전체 짝 세기
완전제곱 조건 세우기
타일 하나씩 확인하기
유리한 경우를 전체로 나누기

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전체 짝 세기

완전제곱 조건 세우기

타일 하나씩 확인하기

유리한 경우를 전체로 나누기

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