AMC 8 · 2012 · #10

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicdigit-constraintssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

2012 의 네 자리 숫자(즉, 다중집합 {0, 1, 2, 2})를 모두 사용해서 만들 수 있는, 1000 보다 큰 4자리 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}6$

(B)

$hspace{.05in}7$

(C)

$hspace{.05in}8$

(D)

$hspace{.05in}9$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 나열하기

{0, 1, 2, 2} 의 배열 수가 많지 않으므로 도구 #4(체계적으로 나열하기)가 빠짐도 중복도 없이 세는 가장 안전한 방법입니다 — 특히 두 개의 2 가 서로 같다는 점 때문에 식만 외우면 헷갈리기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 천의 자리를 기준으로 깔끔하게 나눠줍니다: 천의 자리가 1 인 경우와 2 인 경우 (0 은 올 수 없음). 두 경우를 따로 세서 더하는 편이 한 번에 다루는 것보다 훨씬 쉽습니다.

1STEP 1

1000 보다 큰 4자리 수는 천의 자리가 0 이 아니어야 하고, 후보는 1 과 2 뿐이므로 두 경우로 나눕니다.

천의 자리 ∈ {1, 2}

2STEP 2

경우 1 — 1 로 시작하고 남은 {0, 2, 2} 를 세 자리에 배열하면, 0 이 들어갈 자리가 셋이라 3 개가 나옵니다.

1022, 1202, 1220 → 3 개

3STEP 3

경우 2 — 2 로 시작하고 서로 다른 {0, 1, 2} 를 배열하면, 세 숫자를 줄 세우는 6 가지라 6 개가 나옵니다.

2012, 2021, 2102, 2120, 2201, 2210 → 6 개

4STEP 4

두 경우는 겹치지 않으니 그냥 더합니다: 3 + 6 = 9 개, 곧 (D) 입니다.

3 + 6 = 9 → (D)

정답

hspace{.05in}9

다른 방법으로 검산해 봅시다. 천의 자리 조건을 무시한 {0, 1, 2, 2} 의 전체 배열 수는 4!/2! = 12 입니다 (두 개의 2 가 같으므로 2! 로 나눔). 이 중 천의 자리가 0 인 "나쁜" 배열은 0 을 맨 앞에 고정하고 {1, 2, 2} 를 뒤 세 자리에 배열한 경우 — 3!/2! = 3 개입니다. 따라서 답은 12 - 3 = 9 로 (D) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

천의 자리 후보별로 경우를 나누어 체계적으로 나열하면, 이 AMC 8 문제는 7학년 표본 공간 세기로 빠르게 풀려요.

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