AMC 8 · 2013 · #8

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

공정한 동전을 연속으로 3 번 던집니다. 3 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 두 번 연달아 나올(즉, 결과 수열 안에 "HH" 가 포함될) 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{8}$

(B)

$frac{1}{4}$

(C)

$frac{3}{8}$

(D)

$frac{1}{2}$

(E)

$frac{3}{4}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

결과가 2³ = 8 가지밖에 안 되므로 표본 공간 전체를 한 줄에 적을 수 있습니다 — 가장 깔끔한 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다. 정해진 순서로 3 번 던진 결과를 모두 적은 뒤 HH 가 들어있는 것에만 표시하면 끝납니다. 도구 #16(여사건 세기) 은 검토 단계에서 교차 확인용으로 남겨 둡니다 — HH 가 들어있지 "않은" 결과의 수를 세는 것도 짧고, 두 개수의 합이 정확히 8 이 되는지로 검증할 수 있습니다.

1STEP 1

각 던지기는 H 또는 T 이고 시행이 서로 독립이므로, 표본 공간은 모두 8 가지 결과입니다.

2 × 2 × 2 = 2³ = 8 가지

2STEP 2

모든 수열을 정해진 순서로 적습니다: T = 0, H = 1 인 이진수로 보고 000 부터 111 까지 세면 빠뜨리지 않아요.

TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH

3STEP 3

각 문자열을 살펴 앞면 두 개가 바로 이웃하면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다.

TTT → 비해당, TTH → 비해당, THT → 비해당, THH → 해당, HTT → 비해당, HTH → 비해당, HHT → 해당, HHH → 해당

4STEP 4

해당은 THH, HHT, HHH 로 3 가지, 전체 8 가지 중이므로 확률은 $\frac{3}{8}$ , 정답 (C) 입니다.

P(앞면 두 번 연속) = 해당/전체 =

\frac{3}{8}

→ (C)

정답

\frac{3}{8}

\frac{3}{8}

은

\frac{1}{4}

과

\frac{1}{2}

사이의 값이라 직관적으로 자연스럽습니다 — 정확히 HHH 가 나올 확률(

\frac{1}{8}

) 보다는 크고, "앞면이 총 2 개 이상" 인 사건(연속이 아니어도 되는 경우, HTH 도 포함되어

\frac{1}{2}

) 보다는 작아야 하기 때문입니다. 또한 8 가지 결과 중 절반(4 가지) 은 H 가 최대 하나뿐이라 HH 가 들어갈 수 없어, 답이

\frac{1}{2}

보다 작은 것도 맞습니다.

💡핵심 정리

표본 공간이 작을 때는 모든 결과를 차근차근 나열하면 끝 — 7학년 확률은 결국 꼼꼼한 세기 작업이에요!

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