AMC 8 · 2025 · #16

학년 4 countingarithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Forbidden-Complement Selection

pattern-recognitionset-partitionsequences-arithmeticcombinations-basic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticset-partition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

1 부터 10 까지 중에서 서로 다른 정수 5 개를 뽑고, 11 부터 20 까지 중에서 서로 다른 정수 5 개를 더 뽑습니다. 단, 뽑은 어떤 두 수의 차도 정확히 10 이 되어서는 안 됩니다 (예: 3 과 13 을 함께 뽑을 수 없음). 이렇게 뽑은 열 개의 수의 합은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

105

(D)

110

(E)

115

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

1 부터 20 까지 스무 개의 수를 일렬로 늘어놓고 보면 핵심 구조가 잘 안 보입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)의 아이디어는 — 작은 수와 그보다 10 큰 '짝꿍' 을 묶어 (1, 11), (2, 12), …, (10, 20) 의 10 개 짝으로 재배열하는 것입니다. 그러면 '차가 10 인 두 수를 같이 뽑지 마라' 라는 조건은 '같은 짝의 두 수를 동시에 뽑지 마라' 라는 훨씬 단순한 조건으로 바뀝니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 이 아이디어가 정말 맞는지 작은 버전에서 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 총합 = (작은 짝꿍의 합) + (큰 짝꿍을 고른 횟수만큼 × 10 보너스) 로 깔끔하게 계산합니다.

1STEP 1

스무 개 수를 차이 10 인 짝꿍 10 개로 다시 묶으면, 규칙은 '한 짝꿍에서 둘 다 뽑지 마라' 가 됩니다.

짝꿍: (k, k+10), k = 1, 2, …, 10

2STEP 2

10 번 뽑는데 짝꿍도 정확히 10 개라 한 짝꿍에서 둘을 못 뽑으니, 각 짝꿍에서 정확히 하나씩 뽑습니다.

10 번의 뽑기 ÷ 10 개의 짝꿍 = 짝꿍당 정확히 1 번

3STEP 3

짝꿍 4 개짜리 작은 버전으로 확인하면 어떤 합법적 선택도 합이 18 로 같아 총합이 안 변함을 확인합니다.

작은 예시 공식: (1+2+3+4) + 4 × 2 = 10 + 8 = 18 ✓

4STEP 4

각 짝꿍에서 하나씩 뽑되 큰 짝을 고르면 10 씩 늘고, 큰 짝을 정확히 5 번 골랐으니 보너스는 10 × 5 = 50 입니다.

총합 = (1+2+…+10)_모두 작은 짝을 뽑았다면 + 10 × 5

5STEP 5

작은 짝꿍 합 1+2+…+10 = 55 에 보너스 50 을 더하면 105 입니다.

총합 = 55 + 50 = 105 → (C)

정답

105

1 부터 20 까지 스무 개 수의 총합은 1 + 2 + … + 20 = 210 입니다. 우리는 그중 정확히 절반(20 개 중 10 개)을 뽑으니, 답은 210 의 절반인 105 근처에 있어야 자연스럽습니다. 우리 답 105 가 정확히 일치합니다 — 사실 각 (작은, 큰) 짝꿍에서 반드시 한 수씩 뽑힐 수밖에 없기 때문에, 210 이 정확히 105 와 105 로 양분되는 거지요. 나머지 선택지(95, 100, 110, 115) 가 답이 되려면 작은 쪽과 큰 쪽 뽑기 개수가 5:5 가 아니어야 하는데, 그건 문제 조건이 허락하지 않습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '수의 규칙 찾기' 만 알면 풀 수 있어요 — 작은 수마다 10 큰 짝꿍을 찾아 묶기만 하면 답이 톡 튀어 나와요!

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