AMC 8 · 2017 · #15

학년 4 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

permutations-basicsystematic-enumerationspatial-visualizationpattern-recognition tree-enumerationidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

마름모 모양 격자의 한가운데에 글자 A가 놓여 있고, 그 주위로 M, C, 8이 배치되어 있습니다. 가운데 A에서 출발해 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 인접한 칸으로만 한 칸씩 움직이면서 A-M-C-8 순서로 글자를 따라가는 서로 다른 경로는 모두 몇 가지인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

격자 위에서 길을 따라가는 순수 공간 문제이므로 도구 #1(그림 그리기) 가 출발점입니다. 그림을 그려 두면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "세 번의 이동" 을 세 개의 작은 셈 — A → M, M → C, C → 8 — 으로 나눠서 다룰 수 있습니다. 그리고 도구 #5(패턴 찾기) 가 결정타입니다: 모든 M에서 갈 수 있는 C의 수가 같고, 모든 C에서 갈 수 있는 8의 수도 같다는 패턴을 발견하면, 일일이 경로를 늘어놓을 필요 없이 세 단계의 선택지 수를 곱하기만 하면 됩니다.

1STEP 1

가운데 A의 직각 방향 이웃은 위·아래·왼·오른쪽 M 네 개, 그래서 첫 이동은 4 가지.

A → M: 4 가지

2STEP 2

어떤 M에서든 이웃은 지나온 A와 C 세 개뿐, 대칭성으로 M마다 C는 3 가지.

M → C: 모든 M마다 3 가지

3STEP 3

안쪽 모서리든 바깥쪽 꼭짓점이든 두 종류 C 모두 8 두 개에 인접, 그래서 마지막 이동은 C마다 2 가지.

C → 8: 모든 C마다 2 가지

4STEP 4

곱의 법칙으로 세 단계 선택지를 곱하면 4 × 3 × 2 = 24 가지, 답은 (D).

4 × 3 × 2 = 24 → (D)

정답

24 라는 값이 그럴듯한가? 이동이 3 번이고 매 단계 최대 4 가지 선택이라고 보면 상한은 4 × 4 × 4 = 64. 우리의 답 24 는 그 안에 충분히 들어옵니다. 대칭성으로도 확인해 봅시다 — 위로 출발하는 경로, 아래·왼쪽·오른쪽으로 출발하는 경로의 수는 모두 같아야 합니다. 위로 출발하면 M에서 C가 3 가지, 각 C에서 8이 2 가지이므로 한 방향당 3 × 2 = 6 가지, 네 방향이면 6 × 4 = 24. 같은 값이 나오므로 답이 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "같은 규칙이 반복되는 패턴 알아채기" 와 3학년 때 배운 "단계별 선택지 곱하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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