AMC 8 · 2018 · #19

학년 4 countingpattern

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

paritypattern-recognitionsystematic-enumerationcombinations-basic pattern-recognitioncaseworktree-enumeration ↑ 선수 지식: paritycombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

4 층짜리 부호 피라미드가 있습니다. 맨 아래 줄에는 4 칸이 있고, 각 칸에는 + 또는 - 가 들어갑니다. 윗칸의 부호는 아래 두 칸의 부호가 같으면 +, 다르면 - 가 되는 규칙으로 정해집니다. 맨 아래 줄을 채우는 모든 방법 중에서, 꼭대기 칸이 + 가 되는 경우는 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

맨 아래 줄을 채우는 경우의 수는 2⁴ = 16 가지뿐이라 손으로 모두 나열해 볼 수 있습니다 (도구 #2). 다만 곧장 16 가지를 다 적기보다, 먼저 맨 아래 줄이 2 칸인 더 작은 피라미드 (도구 #9 더 쉬운 문제) 와 3 칸인 경우를 풀어 보고, 거기서 규칙성을 찾는 (도구 #5) 게 훨씬 깔끔합니다. 작은 경우에서 보이는 규칙은 "맨 왼쪽 한 칸만 바꾸면 꼭대기 부호도 그대로 한 번 뒤집힌다" 라는 점이고, 그래서 전체의 정확히 절반이 꼭대기에 + 를 만든다는 결론이 나옵니다. 4 칸짜리에도 같은 논리를 적용한 뒤, 마지막에 직접 나열해서 한 번 더 검증합니다.

1STEP 1

그림에서 규칙을 읽으면 아래 두 칸이 같을 때만 +, 다르면 - 입니다.

윗칸 = + (두 칸이 같을 때), - (다를 때)

2STEP 2

2 칸짜리부터: 2² = 4 가지 중 꼭대기가 + 인 것은 정확히 2 가지 — 절반.

n=2 : 꼭대기=+ 인 경우 =

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

3STEP 3

3 칸짜리: 2³ = 8 가지 중 꼭대기가 + 인 것은 정확히 4 가지 — 역시 절반.

n=3 : 꼭대기=+ 인 경우 =

\frac{4}{8}

\frac{1}{2}

4STEP 4

이유는: 맨 왼쪽 칸을 뒤집으면 꼭대기까지 부호가 뒤집혀 줄이 절반씩 짝지어집니다.

#{꼭대기=+} = #{꼭대기=-} =

\frac{1}{2}

· 2ⁿ = 2^ n-1

5STEP 5

4 칸에 적용: 2⁴ = 16 의 절반이므로 답은 16 ÷ 2 = 8 가지 — 선택지 (C).

#{꼭대기=+} =

\frac{1}{2}

· 2⁴ =

\frac{1}{2}

· 16 = 8 → (C)

정답

맨 아래 줄을 채우는 전체 경우는 2⁴ = 16 가지이므로, 답이 16 을 넘으면 불가능합니다 — 선택지 (E) 가 최댓값. 또한 규칙은 + 와 - 에 대해 대칭이라서, 모든 칸의 부호를 일제히 바꿔도 같은 구조가 나옵니다. 그래서 꼭대기가 + 인 경우의 수와 - 인 경우의 수가 같아야 자연스럽고, 곧 답이 16 의 정확히 절반인 8 — 즉 선택지 (C) 가 되어야 한다는 직관과 일치합니다. 마지막 단계에서 8 가지 성공 사례를 모두 적어 본 결과와도 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙대로 따라가서 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

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