AMC 8 · 2017 · #24

학년 6 number-theorycounting

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

lcmmultiplesmodular-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingpattern-recognition ↑ 선수 지식: lcmmultiples

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

샌더스 부인에게는 손주 셋이 있고, 각각 3 일, 4 일, 5 일 간격으로 정기적으로 전화를 겁니다. 세 손주 모두 2016 년 12 월 31 일(0일째)에 전화를 했으므로, 다음 한 해인 2017 년 (365 일) 동안에는 손주들이 각각 3, 4, 5 의 배수인 날에 전화를 겁니다. 이 365 일 중에서 손주 누구한테서도 전화가 오지 않은 날이 며칠인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

144

(D)

146

(E)

152

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)

"전화가 오지 않은" 날을 묻고 있는데, 이건 전형적인 "적어도 하나" / "하나도 없음" 구조라 도구 #16(관점 바꾸기) 의 정석적인 신호입니다 — 전화 온 날을 먼저 센 다음 365 에서 빼면 됩니다. 세 손주의 전화 날은 세 집합 A (3 의 배수), B (4 의 배수), C (5 의 배수) 가 겹쳐 있는 구조이므로 도구 #12(벤 다이어그램) 가 자연스럽게 그림으로 떠오릅니다 — 세 원을 더하고, 두 원씩 겹치는 부분(최소공배수의 배수)을 빼고, 가운데 세 원 모두 겹치는 부분을 다시 더합니다. 도구 #5(패턴 찾기) 는 단순한 셈 규칙으로 쓰입니다 — {1, …, 365} 안에 있는 k 의 배수 개수는 ⌊ 365/k ⌋ 와 같습니다.

1STEP 1

각 손주의 전화 날은 365 이하 주기의 배수이고 ⌊365/k⌋ 로 세면 |A| = 121, |B| = 91, |C| = 73.

|A| = ⌊

\frac{365}{3}

⌋ = 121, |B| = ⌊

\frac{365}{4}

⌋ = 91, |C| = ⌊

\frac{365}{5}

⌋ = 73

2STEP 2

두 손주가 겹치는 날은 최소공배수의 배수뿐 → |A ∩ B| = 30, |A ∩ C| = 24, |B ∩ C| = 18.

|A ∩ B| = ⌊

\frac{365}{12}

⌋ = 30, |A ∩ C| = ⌊

\frac{365}{15}

⌋ = 24, |B ∩ C| = ⌊

\frac{365}{20}

⌋ = 18

3STEP 3

셋 다 겹치는 날은 lcm(3,4,5) = 60 의 배수뿐 — 벤 다이어그램의 한가운데 → |A ∩ B ∩ C| = 6.

|A ∩ B ∩ C| = ⌊

\frac{365}{60}

⌋ = 6

4STEP 4

포함-배제: 세 원을 더하고 두 겹침을 빼고 세 겹침을 다시 더하면 → 전화 온 날 219 일.

|A ∪ B ∪ C| = (121 + 91 + 73) - (30 + 24 + 18) + 6 = 285 - 72 + 6 = 219

5STEP 5

전화 안 온 날은 전화 온 날의 여집합 → 365 - 219 = 146, 정답 (D).

365 - 219 = 146 → (D)

정답

146

lcm(3,4,5) = 60 일 주기로 검산해 봅시다. 60 일 한 묶음 안에 전화 온 날은 20 + 15 + 12 - 5 - 4 - 3 + 1 = 36 일이므로, 전화 없는 날은 한 주기당 24 일 — 약 40%. 어림하면 365 ×

\frac{24}{60}

= 146 으로 정확히 떨어집니다. 답 (D) 와 일치하고, 선택지 78 ∼ 152 범위 안에서도 자연스러운 위치입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수(LCM) 와 벤 다이어그램만 알면 풀 수 있어요!

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