AMC 8 · 2019 · #21

학년 6 geometry-2dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equationslinear-equations-two-var coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

좌표평면 위에 직선 y = 5, y = 1 + x, y = 1 - x 세 개가 삼각형 하나를 둘러쌉니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림 없이 식 세 개만 주어진 기하 문제는 도구 #1(그림 그리기)을 부르는 전형적인 상황입니다. 좌표평면에 세 직선을 대충 스케치해 보면 두 꼭짓점이 수평선 y = 5 위에 나란히 놓이는 것이 보이고, 그 선분을 자연스러운 "밑변"으로 쓸 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 조각 — (가) 세 꼭짓점 찾기, (나) 그림에서 밑변과 높이 읽어 내기, (다) 삼각형 넓이 공식 적용하기 — 으로 나누면 거리 공식이나 복잡한 좌표기하 식 없이 한 단계짜리 방정식만으로 끝낼 수 있습니다.

1STEP 1

세 직선을 그립니다: y = 5 는 수평선, 나머지 둘은 (0, 1) 에서 만나 양쪽으로 45° 벌어집니다.

직선: y = 5, y = 1 + x, y = 1 - x

2STEP 2

y = 5 와 y = 1 + x 의 교점은 대입하면 x = 4, 오른쪽 위 꼭짓점은 (4, 5) 입니다.

5 = 1 + x → x = 4 → (4, 5)

3STEP 3

y = 5 와 y = 1 - x 의 교점은 같은 대입으로 x = -4, 왼쪽 위 꼭짓점은 (-4, 5) 입니다.

5 = 1 - x → x = -4 → (-4, 5)

4STEP 4

기울어진 두 직선이 만나는 곳은 1 + x = 1 - x 에서 x = 0, y = 1, 아래쪽 꼭짓점은 (0, 1) 입니다.

1 + x = 1 - x → x = 0, y = 1 → (0, 1)

5STEP 5

위쪽 두 꼭짓점은 y = 5 를 공유해 수평한 밑변 8 이 되고, (0, 1) 까지 내려가면 높이 4 가 됩니다.

밑변 = 4 - (-4) = 8, 높이 = 5 - 1 = 4

6STEP 6

넓이는 밑변 × 높이의 절반이므로 8 × 4 의 절반 = 16 입니다.

넓이 =

\frac{1}{2}

× 8 × 4 = 16 → (E)

정답

이 삼각형은 수평한 밑변 길이 8 과 높이 4 를 가진 이등변삼각형이므로, 넓이는 8 × 4 = 32 짜리 직사각형의 정확히 절반인 16 입니다. 답 (E) 와 일치합니다. 그림으로 봐도 이 삼각형이 꼭짓점이 (± 4, 1), (± 4, 5) 인 가상 직사각형(넓이 32) 안에 딱 들어가고 그 절반을 차지한다는 게 보여서 결과가 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 좌표평면과 삼각형 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

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