AMC 8 · 2020 · #20

학년 6 number-theorylogic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

modular-arithmeticparitymean-median-mode-rangesequences-geometric caseworktree-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticparity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 줄로 늘어선 나무 5 그루의 키(미터)를 과학자가 모두 정수로 기록했는데, 어떤 나무든 바로 오른쪽 나무의 키와 두 배 또는 절반 관계입니다. 비에 노트가 젖어 둘째 나무 키 11 미터만 남았고, 평균 키도 소수점 아래 자리가 .2 라는 사실만 읽을 수 있습니다. 이 단서들로 나무 다섯 그루의 평균 키를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

22.2

(B)

24.2

(C)

33.2

(D)

35.2

(E)

37.2

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 배 규칙과 정수 조건을 함께 적용하면 가능한 (H₁, H₂, H₃, H₄, H₅) 수열은 손에 꼽힐 만큼 적어집니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정해진 순서에 따라 후보를 모두 적어두는 것이 가장 깔끔합니다. H₂ = 11 이 홀수라는 점에서 양쪽 이웃이 곧바로 정해지고, H₃ 부터 가지가 갈라집니다. 모든 정수 수열을 나열한 다음에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 평균이 .2 로 끝나지 않는 경우를 걷어내면 답이 하나로 좁혀집니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)을 쓰지 않은 이유는, 후보가 워낙 적어 변수를 세우지 않아도 초등학생 손으로 충분히 끝낼 수 있기 때문입니다.

1STEP 1

홀수 11을 절반으로 나누면 5.5라 정수가 안 되므로 양옆 이웃은 두 배, 즉 H₁ = H₃ = 22.

H₁ = 22, H₂ = 11, H₃ = 22

2STEP 2

H₃ = 22에서 나무 4는 두 배·절반으로 H₄ = 11 또는 44; 이어서 정수만 남기며 H₅를 정합니다.

H₄ ∈ {11, 44}. H₄ = 11 이면 H₅ = 22 (5.5 는 탈락). H₄ = 44 이면 H₅ ∈ {22, 88}.

3STEP 3

가능한 세 수열을 모두 적고 각각 더하면 합은 88, 121, 187입니다.

수열 A: 22, 11, 22, 11, 22 → S = 88. 수열 B: 22, 11, 22, 44, 22 → S = 121. 수열 C: 22, 11, 22, 44, 88 → S = 187.

4STEP 4

각 합을 5로 나누면 121 ÷ 5 = 24.2만 .2로 끝나, 88과 187(17.6, 37.4)은 탈락합니다.

수열 A: 88 ÷ 5 = 17.6 (.6 으로 끝남 — 탈락). 수열 B: 121 ÷ 5 = 24.2 (.2 로 끝남 — 통과). 수열 C: 187 ÷ 5 = 37.4 (.4 로 끝남 — 탈락).

5STEP 5

유일하게 남는 수열 22, 11, 22, 44, 22의 평균 키는 24.2 미터, 선택지 (B)입니다.

평균 =

\frac{121}{5}

= 24.2 m → (B)

정답

24.2

살아남은 수열 22, 11, 22, 44, 22 는 두 배 규칙을 모두 만족합니다 — 22 ⇔ 11 (절반), 11 ⇔ 22 (두 배), 22 ⇔ 44 (두 배), 44 ⇔ 22 (절반). 모든 키가 양의 정수이고, 평균 24.2 도 문제가 요구한 대로 .2 로 끝납니다. 선택지 중에서도 두 배 사슬과 정수 조건을 모두 지키며 만들 수 있는 평균은 24.2 뿐이라, 22.2 / 33.2 / 35.2 / 37.2 는 어딘가에서 비정수 키나 어긋난 사슬이 생겨 자연히 배제됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "합을 개수로 나누는 평균" 만 알면, 두 배·절반 후보를 차근차근 나열해서 풀 수 있어요!

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