AMC 8 · 2008 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

sequences-geometricfraction-multiplicationpattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationpattern-recognition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공을 3 m 높이에서 떨어뜨립니다. 첫 번째 튕김에서는 2 m 까지 올라가고, 그 다음부터는 매 튕김마다 직전 튕김 높이의

\frac{2}{3}

만큼만 올라갑니다. 처음으로 0.5 m 에 도달하지 못하는 튕김은 몇 번째 튕김일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

매 튕김이 직전 튕김의 $\frac{2}{3}$ 배라는 같은 규칙을 따르므로, 높이는 등비 패턴입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 "매번 $\frac{2}{3}$ 곱하기"라는 규칙을 잡고, 도구 #2(목록 만들기)로 그 규칙을 한 단계씩 적용해 분수로 정확히 적어 내려갑니다. 확인할 단계가 다섯에서 여섯 줄뿐이라 부등식을 푸는 것보다 목록 쪽이 더 빠릅니다.

1STEP 1

패턴에 이름 붙이기 — 매 튕김이 직전의 $\frac{2}{3}$ 이므로 첫 튕김부터 높이는 $\frac{2}{3}$ 씩 계속 곱해집니다.

h₁ = 2, h_n+1 =

\frac{2}{3}

h_n

2STEP 2

높이를 분수로 나열: 2, $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$ , $\frac{16}{27}$ , $\frac{32}{81}$ — 반올림 없이 $\frac{1}{2}$ 과 비교하려고 분수 그대로 둡니다.

h₁ = 2, h₂ =

\frac{2}{3}

· 2 =

\frac{4}{3}

, h₃ =

\frac{2}{3}

\frac{4}{3}

\frac{8}{9}

, h₄ =

\frac{2}{3}

\frac{8}{9}

\frac{16}{27}

, h₅ =

\frac{2}{3}

\frac{16}{27}

\frac{32}{81}

3STEP 3

각 높이를 $\frac{1}{2}$ 과 비교: $\frac{a}{b}$ ＜ $\frac{1}{2}$ 은 2a ＜ b 와 같고, 64 ＜ 81 이므로 h₅ 만 절반 아래로 내려갑니다.

h₃: 2 · 8 = 16 ＞ 9, 따라서

\frac{8}{9}

＞

\frac{1}{2}

. h₄: 2 · 16 = 32 ＞ 27, 따라서

\frac{16}{27}

＞

\frac{1}{2}

. h₅: 2 · 32 = 64 와 81 비교, 64 ＜ 81 이므로

\frac{32}{81}

＜

\frac{1}{2}

4STEP 4

1~4 번은 모두 0.5 m 이상이지만 5 번은 $\frac{32}{81}$ ≈ 0.395 m 뿐 — 그래서 5 번 이 처음으로 못 미칩니다.

h_n ＜ 0.5 인 첫 n 은 n = 5 → (C)

정답

소수로 점검: h₁ = 2, h₂ ≈ 1.333, h₃ ≈ 0.889, h₄ ≈ 0.593, h₅ ≈ 0.395. 매 튕김마다 약 33% 씩 줄어들고, h₄ ≈ 0.593 에서 h₅ ≈ 0.395 로 넘어가면서 0.5 선을 통과하는 것이 자연스럽습니다. 번호 매김도 맞습니다 — 3 m 낙하는 튕김이 아니고, 2 m 까지 오른 것이 1 번 튕김이므로 다섯 번째 반동이 5 번 튕김, 즉 선택지 (C) 입니다.

💡핵심 정리

매 단계가 같은 분수만큼 줄어들 때는 식보다 목록이 빠릅니다 — $\frac{2}{3}$ 을 곱해 가며 $\frac{1}{2}$ 과 비교하고, 처음으로 작아진 줄에서 멈추면 됩니다.

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