AMC 8 · 2022 · #18

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-rectanglesspatial-visualization coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 직사각형의 네 변의 중점이 각각 (-3,0), (2,0), (5,4), (0,4) 에 있습니다. 직사각형의 꼭짓점은 알려 주지 않고 이 네 중점만 주어졌을 때, 원래 직사각형의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제가 순전히 좌표평면 위의 네 점에 관한 공간 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 첫걸음으로 가장 자연스럽습니다 — 모눈종이에 네 중점을 찍으면 모양이 바로 보입니다. 그림이 그려지면 문제는 두 개의 작은 문제(도구 #7)로 쪼개집니다: 먼저 중점들이 만드는 안쪽 평행사변형의 넓이를 구하고, 그 다음에 그 넓이가 직사각형 전체 넓이와 어떤 비율인지 알아내면 됩니다. 이 비율을 정리(Varignon 정리) 없이 직접 발견하려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 딱입니다 — 좌표축에 평행한 간단한 직사각형을 하나 골라 중점을 손으로 찍어 보면, 안쪽 마름모의 넓이가 정확히 원 직사각형의 절반임이 곧바로 드러나고, 같은 비율을 우리 문제에 그대로 가져다 쓸 수 있습니다.

1STEP 1

네 중점을 순서대로 A→B→C→D 로 잇습니다; 변 AB 와 DC 가 y=0 과 y=4 에 평평히 놓여 기울어진 안쪽 평행사변형을 이룹니다.

A=(-3,0), B=(2,0), C=(5,4), D=(0,4)

2STEP 2

밑변 AB 는 y=0 에서 길이 5, 마주보는 DC 는 y=4 이므로 안쪽 평행사변형 넓이는 5 × 4 = 20 입니다.

넓이(ABCD) = 5 × 4 = 20 제곱단위

3STEP 3

쉬운 6 × 4 직사각형으로 시험하면 중점들이 넓이 12 인 마름모를 이뤄 넓이 24 의 정확히 절반 — 중점 도형은 늘 직사각형의 절반입니다.

중점 도형 넓이 =

\frac{1}{2}

× 6 × 4 = 12 =

\frac{1}{2}

×(6× 4)

4STEP 4

안쪽 평행사변형이 20 이고 이는 직사각형의 절반이므로, 직사각형 넓이는 2 × 20 = 40 → (C) 입니다.

직사각형의 넓이 = 2 × 20 = 40 → (C)

정답

그림을 다시 봅시다. 네 중점은 x=-3 부터 x=5 까지(너비 8), y=0 부터 y=4 까지(높이 4) 분포하므로 넓이 8 × 4 = 32 인 외접 사각형 안에 들어갑니다. 실제 직사각형은 기울어져 있지만, 그 넓이는 안쪽 평행사변형 20 보다는 분명히 크고 외접 사각형 32 와 비슷한 크기여야 합니다. 40 은 이 범위에 자연스럽게 들어맞고 선택지 (C) 와 일치합니다. (A) 20 이면 직사각형이 안쪽 평행사변형과 같은 크기가 되어 불가능하고, (E) 80 이면 직사각형이 외접 사각형 32 를 한참 넘어버려 말이 안 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 좌표평면 위 도형 넓이 구하기만 알면 풀 수 있어요 — 점을 찍고, 안쪽 도형 넓이를 구해서 두 배 하면 끝!

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