AMC 8 · 2022 · #25

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystematic-enumeration tree-enumerationcaseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

귀뚜라미 한 마리가 나뭇잎 4 장 중 하나에 앉아 있습니다. 한 번 뛸 때마다 자기 자리를 뺀 나머지 3 장 중 하나로, 똑같은 확률로 옮겨갑니다. 정확히 4 번을 뛰고 난 뒤, 처음 출발한 나뭇잎에 다시 돌아와 있을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{9}$

(B)

$frac{19}{80}$

(C)

$frac{20}{81}$

(D)

$frac{1}{4}$

(E)

$frac{7}{27}$

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

4 번 뛴 결과를 한 번에 알아내는 건 어렵지만, n 번 뛴 결과에서 n+1 번 뛴 결과로 가는 한 발짝은 쉽습니다 — 시간(점프 횟수) 변수에 대해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 적용하는 셈입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 나뭇잎 4 장을 모든 쌍이 변으로 이어진 K₄ 로 그려 두면, B, C, D 가 똑같은 역할을 한다는 대칭성이 한눈에 보입니다. 그러면 4 개의 미지 확률이 단 두 개(A 위에 있을 확률 p_n 과 임의의 다른 한 장 위에 있을 확률 q_n)로 줄어들고, 도구 #5(패턴 찾기)로 작은 한 단계짜리 점화식을 만들어 n = 1, 2, 3, 4 까지 차례로 굴리면 답이 나옵니다.

1STEP 1

잎 A, B, C, D 를 모든 쌍끼리 이어 K₄ 를 그리면, 각 잎마다 확률 $\frac{1}{3}$ 짜리 점프가 3 개이고 B, C, D 는 대칭입니다.

P(특정 다른 나뭇잎으로 점프) =

\frac{1}{3}

2STEP 2

n 번 뛴 뒤 두 수만 추적: p_n = A 에 있을 확률, q_n = 특정 다른 한 잎 확률; 대칭에서 p_n + 3 q_n = 1.

p_n + 3 q_n = 1, p₀ = 1, q₀ = 0

3STEP 3

규칙: A 는 다른 잎에서 A 를 골라야 오므로 p_n+1 = q_n; 다른 잎은 두 경로 합 q_n+1 = $\frac{p_n + 2 q_n}{3}$ .

p_n+1 = q_n, q_n+1 =

\frac{p_n + 2 q_n}{3}

4STEP 4

p₀ = 1, q₀ = 0 에서 굴리면 p₁ = 0, p₂ = $\frac{1}{3}$ , p₃ = $\frac{2}{9}$ , 그리고 p₄ = $\frac{7}{27}$ .

n=1:& p₁ = 0, q₁ =

\frac{1}{3}

; n=2:& p₂ =

\frac{1}{3}

, q₂ =

\frac{0 + \frac{2}{3}}{3}

\frac{2}{9}

; n=3:& p₃ =

\frac{2}{9}

, q₃ =

\frac{\frac{1}{3} + \frac{4}{9}}{3}

\frac{\frac{7}{9}}{3}

\frac{7}{27}

; n=4:& p₄ =

\frac{7}{27}

5STEP 5

4 번 뛴 뒤 귀뚜라미가 출발 잎 A 로 돌아올 확률은 $\frac{7}{27}$ , 곧 선택지 (E) 입니다.

p₄ =

\frac{7}{27}

→ (E)

정답

frac{7}{27}

검산 1: 매 단계에서 p_n + 3 q_n = 1 이 성립합니다(예:

\frac{7}{27}

+ 3 ·

\frac{20}{81}

\frac{21}{81}

\frac{60}{81}

= 1). 검산 2: 만약 매 턴마다 제자리 포함 4 장 모두 똑같은 확률로 선택했다면 A 위에 있을 확률은

\frac{1}{4}

= 0.25 가 되어야 합니다. 우리 답

\frac{7}{27}

≈ 0.259 는

\frac{1}{4}

보다 살짝 크고, 점프 횟수가 짝수(4)이고 매번 "반드시 옮겨야" 한다는 제약이 A 로의 복귀를 아주 살짝 유리하게 만든다는 직관과 일치합니다. 선택지 (A)

\frac{2}{9}

≈ 0.222 와 (D)

\frac{1}{4}

= 0.25 는 너무 작고, (B)

\frac{19}{80}

은 분모 계열이 어긋납니다(분모는 3ⁿ 꼴이어야 함). (E) 만 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "여러 단계 사건의 확률은 각 단계 확률의 곱과 합" 만 알면 풀 수 있어요!

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