AMC 8 · 2023 · #2

학년 4 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold-Cut-Unfold Shape Identification

spatial-visualizationreflection-symmetrypaper-folding physical-representationreflection-unfolding ↑ 선수 지식: spatial-visualizationreflection-symmetry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

정사각형 종이를 가로·세로로 한 번씩 접어

\frac{1}{4}

크기의 작은 정사각형으로 만든 뒤, 그 위에 점선(작은 정사각형의 오른쪽 변 중점과 아래쪽 변 중점을 잇는 선)을 따라 잘라 작은 삼각형 모서리를 떼어냅니다. 종이를 다시 펼쳤을 때 어떤 모양이 나오는지 다섯 개의 그림 중에서 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(diagram) square with zig-zag notches along all four edges

(B)

(diagram) square with zig-zag notches along the top edge only

(C)

(diagram) square with an axis-aligned square hole in the center

(D)

(diagram) square with a single upward-pointing triangular hole in the center

(E)

(diagram) square with a small square rotated 45° (diamond) hole in the center

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

종이를 접고 자르는 문제는 머리로만 그리기보다 실제로 종이 한 장을 접어 잘라 보는 것이 가장 빠르고 확실합니다(도구 #10). 작은 정사각형 종이에 대각선 컷을 한 번 내고 펼쳐 보면 답은 곧바로 손에 잡힙니다. 손이 없는 상황에서는 같은 절차를 머릿속에서 한 단계씩 따라가는 공간 상상(도구 #17)으로 대신합니다. 마지막으로 다섯 개의 보기 중 우리가 얻은 모양과 정확히 일치하지 않는 것을 지워 가며 답을 굳히는 소거(도구 #3)로 검산합니다.

1STEP 1

실제 종이를 가로·세로 중심선으로 접어 네 겹 정사각형을 만듭니다. 두 접힘선이 거울 역할을 합니다.

2STEP 2

종이 중앙에 해당하는 모서리에서 두 변 중점을 이어 자르면, 한 번에 똑같은 삼각형 네 개가 떨어집니다.

3STEP 3

세로 접힘선을 펼치면 자국이 그 선에 대칭되어, 위쪽 절반 아래 변에 삼각형 구멍 하나가 생깁니다.

4STEP 4

가로 접힘선을 펼치면 구멍이 다시 대칭되어 아래쪽에 똑같은 삼각형이 생기고, 두 삼각형이 종이 중앙에서 만납니다.

5STEP 5

두 삼각형이 합쳐지면 네 변이 같고 대각선이 가로·세로인 도형, 즉 45° 기울어진 작은 정사각형(마름모)이 정중앙에 생깁니다.

6STEP 6

다섯 보기와 맞추면, 종이 정중앙에 45° 기울어진 정사각형 구멍 하나뿐인 (E)만 두 대칭을 모두 만족합니다.

→ (E)

정답

(diagram) square with a small square rotated 45° (diamond) hole in the center

크기와 위치 두 가지로 점검합니다. 첫째, 자른 삼각형은 작은

\frac{1}{4}

정사각형의 한 모서리에서 떨어진 "아주 작은" 조각이므로, 펼친 결과의 구멍도 종이 전체에 비해 작은 도형이어야 합니다 — (E)의 가운데 마름모는 작고 (A)처럼 가장자리 전체에 흠집이 가득한 모양이 아닙니다. 둘째, 자른 모서리가 원래 종이의 "중앙"이었으므로 구멍은 종이의 정중앙에 있어야 하고, 두 접힘선이 모두 대칭선이므로 좌우·상하 대칭이어야 합니다 — (E)는 이 두 조건을 모두 만족합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "접힘선은 곧 대칭선"만 알면 풀 수 있어요!

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