AMC 8 · 2024 · #13

학년 2 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

systematic-enumerationparity systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

토끼 버즈는 땅(0층)에서 출발해 6 번의 깡충 뛰기를 합니다. 각 깡충은 계단을 한 칸 위로(U) 가거나 한 칸 아래로(D) 가는 동작입니다. 마지막에 다시 땅(0층)에 도착해야 하고, 도중에 단 한 순간도 땅 아래(음수 층)로 내려가서는 안 됩니다. 가능한 모든 U/D 수열이 몇 가지인지 세는 것이 목표입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

선택지의 최댓값이 12 로 아주 작아서, 모든 후보 수열을 직접 적어볼 수 있을 만큼 경우의 수가 적습니다. 따라서 가장 자연스러운 주된 도구는 #2 빠짐없이 나열하기 입니다. 각 수열에서 "지금 버즈는 땅 아래로 내려갔는가?"를 확인하기 위해 #1 그림 그리기 로 매 단계의 층계 높이를 적어 봅니다. 마지막에 #3 가능성 지우기 로 음수 층에 들른 수열을 지워서 유효한 것만 남기고 세면 됩니다. 초등학생에게는 카탈란 수 공식이나 #13 대수로 바꾸기 가 필요 없습니다 — 나열만으로 충분히 빠르고 정확합니다.

1STEP 1

U는 +1층, D는 -1층. 6번 뒤 0층으로 돌아오려면 위와 아래가 균형을 이뤄 정확히 U 3개와 D 3개.

#U + #D = 6, #U = #D → #U = #D = 3

2STEP 2

첫 깡충은 U(아니면 땅 밑), 마지막은 D(0층 착지). 모든 수열은 U _ _ _ _ D 꼴, 가운데에 U 2개·D 2개.

수열 = U _ _ _ _ D (가운데에 U 2개와 D 2개)

3STEP 3

가운데 두 U의 자리를 작은 순 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)로 나열하면 후보 6개가 나와요.

후보 6개: UUUDDD, UUDUDD, UUDDUD, UDUUDD, UDUDUD, UDDUUD

4STEP 4

0에서 시작해 U는 +1, D는 -1로 높이를 추적하면 모두 0 이상인데, UDDUUD만 세 번째에 -1로 내려가 탈락.

UDDUUD: 0 → 1 → 0 → -1 (땅 밑 — 무효)

5STEP 5

살아남은 수열은 UUUDDD, UUDUDD, UUDDUD, UDUUDD, UDUDUD — 총 5개, 즉 (B).

유효 개수 = 6 - 1 = 5 → (B)

정답

답 5 는 선택지 4, 5, 6, 8, 12 중 중간쯤에 위치해 크기 감각으로도 자연스럽습니다. 구조적으로도 일치합니다: 가운데 네 칸에 U 2개를 넣는 방법이 C(4, 2) = 6 가지이고, 그중 정확히 한 가지(UDDUUD)만 땅 밑으로 내려가므로 6 - 1 = 5. 살아남은 5개 수열 각각은 층계 높이를 한 단계씩 그려 다시 확인할 수 있고, 나열 규칙이 "두 U의 자리를 작은 순으로"라서 중복도 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 한 단계씩 더하고 빼며 추적하기만 알면 풀려요!

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