AMC 10 · 2011 · #13

학년 3 counting
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
digit-constraintspermutations-basicparity caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basic
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문제
어떤 세 자리 정수가 200과 700 사이에 있고, 짝수이며, 각 자리 숫자가 모두 서로 다르고, 집합 {1,2,5,7,8,9}의 숫자만 사용한다. 이런 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
20
(C)
72
(D)
120
(E)
200

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

"몇 개인가"를 묻고 있으므로, 자리마다 숫자를 하나씩 채워 가며 각 자리의 가능한 선택 수를 센다. 일의 자리가 가장 빡빡한 조건(짝수 여부를 정함)이므로, 백의 자리를 기준으로 경우를 나누고, 각 경우를 자리별 선택 수의 곱으로 센 뒤 경우들을 더한다.

1STEP 1

백의 자리 숫자 정하기

범위상 백의 자리는 2~6인데 허용 숫자는 1,2,5,7,8,9뿐이라, 겹치는 것은 2 또는 5뿐이다.

백의 자리 ∈ {2,3,4,5,6} ∩ {1,2,5,7,8,9} = {2,5}
2STEP 2

일의 자리 숫자 정하기

짝수라는 것은 끝자리가 짝수라는 뜻이고, 집합에서 짝수는 2와 8뿐이다.

일의 자리 ∈ {2,8}
3STEP 3

경우 1: 백의 자리가 2

앞에 2를 썼으니 일의 자리는 8뿐이고, 십의 자리는 1,5,7,9 중 하나여서 4개다.

1 (일의 자리) × 4 (십의 자리) = 4
4STEP 4

경우 2: 백의 자리가 5

5가 앞에 오면 일의 자리는 2 또는 8이고, 십의 자리에 4개가 남아 2 × 4 = 8개다.

2 (일의 자리) × 4 (십의 자리) = 8
5STEP 5

경우들 더하기

두 경우는 백의 자리가 달라 겹치지 않으니 그냥 더하면 4 + 8 = 12, 보기 (A)이다.

4 + 8 = 12
정답
12
합계 12는 작은 값인데, 이는 타당하다. 숫자 집합이 빡빡하고, 수가 짝수여야 하며, 같은 숫자를 반복할 수 없어 대부분의 조합이 걸러지기 때문이다. 경우 1을 빠르게 확인하면 — 백의 자리 2, 일의 자리 8에 십의 자리가 {1,5,7,9}이면 218, 258, 278, 298로 정확히 4개 — 세는 방법이 맞고 보기 (A)와 일치한다.
💡핵심 정리

까다로운 규칙(범위와 짝수)이 걸린 자리부터 먼저 정하고, 남은 자유로운 선택 수를 세어 곱한 뒤, 별개의 경우들을 마지막에 더한다.

  • 백의 자리 숫자 정하기
  • 일의 자리 숫자 정하기
  • 경우 1: 백의 자리가 2
  • 경우 2: 백의 자리가 5
  • 경우들 더하기

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