경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2024 · #13
학년 2 counting
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
선택지의 최댓값이 12로 아주 작아서, 모든 후보 수열을 직접 적어볼 수 있을 만큼 경우의 수가 적습니다. 따라서 가장 자연스러운 주된 도구는 #2 빠짐없이 나열하기 입니다. 각 수열에서 "지금 버즈는 땅 아래로 내려갔는가?"를 확인하기 위해 #1 그림 그리기 로 매 단계의 층계 높이를 적어 봅니다. 마지막에 #3 가능성 지우기 로 음수 층에 들른 수열을 지워서 유효한 것만 남기고 세면 됩니다. 초등학생에게는 카탈란 수 공식이나 #13 대수로 바꾸기 가 필요 없습니다 — 나열만으로 충분히 빠르고 정확합니다.
올라감 셋·내려감 셋으로 고정하기
U는 +1층, D는 -1층. 6번 뒤 0층으로 돌아오려면 위와 아래가 균형을 이뤄 정확히 U 3개와 D 3개.
6을 같은 두 묶음 3과 3으로 나누는 것은 1학년의 덧셈·뺄셈 문장제 수준의 추론입니다.
1.OA.A.1Draw A Diagram처음과 마지막 이동 정하기
첫 깡충은 U(아니면 땅 밑), 마지막은 D(0층 착지). 모든 수열은 U _ _ _ _ D 꼴, 가운데에 U 2개·D 2개.
"0에서 1을 빼면 음수가 된다"라는 1학년 덧셈·뺄셈의 직관으로 첫 깡충 방향이 강제됩니다.
1.OA.A.1Draw A Diagram가운데 여섯 가지 나열하기
가운데 두 U의 자리를 작은 순 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)로 나열하면 후보 6개가 나와요.
정해진 순서대로 모두 나열해 빠뜨림과 중복을 막는 것은 유치원 "분류하고 세기" 수준의 사고입니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List각 경우의 높이 따라가기
0에서 시작해 U는 +1, D는 -1로 높이를 추적하면 모두 0 이상인데, UDDUUD만 세 번째에 -1로 내려가 탈락.
+1과 -1을 여러 단계 누적하면서 "0보다 작아지지 않았는가"를 확인하는 것은 2학년의 두 단계 덧셈·뺄셈 문장제 수준입니다.
각 깡충 뒤 버즈의 높이를 위는 +1, 아래는 -1의 누적 합으로 추적하면 여섯 개의 후보 순서 중 정확히 하나만 땅 아래로 내려가므로, 그것만 지워진다.
▸ 왜?
임의의 깡충 뒤 높이는 지금까지의 이동을 누적한 값과 같다 — 0에서 시작해 위 깡충마다 1을 더하고 아래 깡충마다 1을 빼면 — 그래서 매 중간 높이를 순서에서 바로 읽어낼 수 있다.
▸ 왜?
각 깡충은 높이에 자기 몫인 +1 또는 -1을 보태고, 빠뜨리거나 두 번 세는 이동이 없으므로, 그 조각들을 다시 더하면 그 지점의 높이가 된다.
▸ 왜?
버즈가 땅 아래로 가는 것은 앞선 위 깡충 중 상쇄할 것이 남아 있지 않은 아래 깡충이 놓일 때뿐이며, 여섯 후보 중 오직 UDDUUD만 그런 아래 깡충을 가진다 — 세 번째 깡충이 누적 합을 -1로 밀어낸다.
▸ 왜?
아래 깡충은 위 깡충을 되돌리므로, 앞선 위 깡충이 모두 이미 되돌려진 뒤 놓인 아래 깡충은 버즈가 출발한 자리보다 높이를 아래로 떨어뜨릴 수밖에 없다.
살아남은 경우 세기
살아남은 수열은 UUUDDD, UUDUDD, UUDDUD, UDUUDD, UDUDUD — 총 5개, 즉 (B).
후보들을 "유효/무효" 두 묶음으로 나눈 다음 유효한 묶음의 개수를 세는 것은 유치원 "분류하고 세기" 표준 그대로입니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 한 단계씩 더하고 빼며 추적하기만 알면 풀려요!
- 올라감 셋·내려감 셋으로 고정하기
- 처음과 마지막 이동 정하기
- 가운데 여섯 가지 나열하기
- 각 경우의 높이 따라가기
- 살아남은 경우 세기
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