AMC 8 · 2024 · #8

학년 4 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

pattern-recognitionsystematic-enumeration tree-enumerationsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

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문제

태오는 월요일에 2달러를 가지고 있고, 매일 두 가지 행동 중 하나를 한다: '3달러 더하기' 또는 '돈을 두 배로 만들기'. 월요일에서 3일 뒤인 목요일까지 행동을 세 번 한 뒤, 태오가 가질 수 있는 서로 다른 금액의 개수가 몇 가지인지 구해야 한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

행동이 매일 두 가지뿐이고 총 3일이므로 가능한 경로는 최대 2³ = 8개에 불과하다. 이 정도 크기는 빠짐없이 나열해서 직접 추적하는 것이 가장 안전하다(도구 #2). 매일의 가능한 금액을 가지에서 갈라지는 가지(나무 그림)로 그려 두면 중복과 누락을 한눈에 확인할 수 있다(도구 #1). 마지막에는 중복된 금액을 지워 서로 다른 금액의 수를 세는데, 이는 후보 목록에서 같은 값을 지우는 가능성 소거와 같다(도구 #3). 대수나 식 세우기는 필요 없다.

1STEP 1

월요일 2달러에 '+3'과 '× 2'를 적용하면 2+3=5, 2× 2=4이니 화요일 금액은 {4, 5}이다.

2 + 3 = 5, 2 × 2 = 4 → 화요일 ∈ {4, 5}

2STEP 2

4→7,8과 5→8,10을 모으면 {7,8,8,10}에서 8이 겹쳐, 서로 다른 수요일 금액은 {7, 8, 10}이다.

4 &→ 4+3=7, 4× 2=8 ; 5 &→ 5+3=8, 5× 2=10 → 수요일 ∈ {7, 8, 10}

3STEP 3

수요일 세 금액에 두 행동을 적용하면 목요일 목록은 {10, 14, 11, 16, 13, 20}, 즉 여섯 값이다.

7 &→ 7+3=10, 7× 2=14 ; 8 &→ 8+3=11, 8× 2=16 ; 10 &→ 10+3=13, 10× 2=20

4STEP 4

여섯 후보는 모두 서로 다르므로 가능한 금액 수는 6, 곧 (D)이고 3, 4, 5, 7은 목록과 달라 제거한다.

{10, 11, 13, 14, 16, 20} → #서로 다른 금액 = 6 → (D)

정답

가능한 경로의 총 개수는 2 × 2 × 2 = 8개다. 만약 어느 경로도 같은 금액을 만들지 않았다면 답은 8이어야 하지만, 우리는 수요일에 8달러로 합쳐지는 경로 두 개(4 → 8과 5 → 8)가 있음을 확인했다. 이 합쳐진 경로는 결국 목요일의 후보 두 쌍을 같게 만들 잠재력이 있는데, 실제로 목록 {10, 11, 13, 14, 16, 20}을 보면 추가 중복은 없고 한 번의 합침만 살아남아 8 - 2 = 6가지가 된다. 따라서 답 6은 경로 수 계산과도 일치한다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '규칙에 따라 수열 만들기'만 알면 풀 수 있어요!

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